Помогите пожалуйста, как это вообще делать? Какие-то основные вещи... ТФКП у нас просто ужасно:(

Найти целую линейную функцию W(z), отображающую полосу, заключенную между данными прямыми, на полосу 0<u<1 при данной нормировке: x=a, x=a+h, w(a+h/2)=1/2+i, Im w(a+h/2+i)<1.

задан 4 Окт '17 20:17

Условие непонятно. Тут есть параметр u, который далее нигде не используется. Что на что надо отобразить? И что такое "целая линейная функция"? Откуда такой термин?

(4 Окт '17 21:38) falcao

@falcao "Целая линейная функция" - там так глава называется. А вот "u" - в предыдущей главе написано, что "функция u(x,y) обладающая в некоторой области непрерывными частными производными, до второго порядка включительно и удовлетворяющая уравнению Лапласа (сумма частных производных второго порядка по x и y равна нулю) называется гармонической функцией". Задача из Эльсгольца.

(4 Окт '17 21:47) Стас001

@Стас001: я встречал понятия целой функции в ТФКП -- так называют функцию, голомофрную на всей комплексной плоскости. Линейной же называют функцию вида w=az+b, где a,b -- константы. Она всюду голоморфна. Тогда зачем добавляют ещё одно слово? Возможно, здесь речь о каком-то узкоспециальном жаргоне, который я либо не знаю, либо забыл.

Боюсь, что u в другой главе означает что-то своё. Здесь я условия на самом деле не понимаю. Вводится переменная, которая нигде не использована. Или тут по умолчанию считается, что w=u+iv, то есть u=Re w? Похоже, что именно так.

(4 Окт '17 22:08) falcao

@falcao А нам такой кошмар задают по 10 номеров:((

(4 Окт '17 22:40) Стас001

@Стас001: скорее всего, это какая-то лёгкая задача, если понимать её условие. Ведь линейные функции устроены просто. Но я не могу догадаться, чего здесь хотят. Здесь используется какой-то "сленг", который где-то должен был поясняться. В задачниках так бывает, что какая-то информация типа соглашений в обозначениях или в терминах, необходимая для понимания, даётся или "между строк", или в условиях предыдущих примеров. Будь у меня весь задачник, я бы, возможно, "смикитил".

(4 Окт '17 22:54) falcao

В тфкп "целой линейной функцией" как раз и называют функцию $%az+b$%.

(5 Окт '17 1:28) Амфибрахий

Поскольку линейная функция в полосе имеет неограниченную действительную и мнимую части, то думается мне, что они тут совсем ни при чём...

Вангую, что условие записано в терминах $%z = x+iy$% и $%w = u+iv$%...

Вот почему нынче ленятся писать $%\text{Re}\,z$% вместо икса и $%\text{Im}\,z$% вместо игрека?...

(5 Окт '17 1:29) all_exist

@all_exist: я думаю, что нынче как раз написали бы по-человечески, то есть с Re z и Im z, а этот задачник, скорее всего, очень старый. А условие я всё равно не понимаю -- требуется перевод с "древнематематического" :)

(5 Окт '17 3:12) falcao

@falcao, нынче как раз написали бы по-человечески, то есть с Re z и Im z - ну, не знаю... у меня как раз обратные наблюдения... но могу и ошибаться...

А условие я всё равно не понимаю - требуется отобразить полосу на полосу... это всегда можно сделать поворотами, сдвигами и растяжениями... то есть линейной функции для этого вполне хватает...

Плюс даны два условия на образ точки и "направление" полосы... для того, чтобы коэффициенты находились (скорее всего) однозначно...

(5 Окт '17 7:52) all_exist

@all_exist: я сейчас попытался разгадать эту "криптограмму" -- если правильно понял условные обозначения, то обе полосы вертикальны, и одну надо развернуть на 180 градусов и сдвинуть. Тогда это совсем просто. Но терминология и обозначения донельзя ужасные!

(5 Окт '17 12:24) falcao
показано 5 из 10 показать еще 5
10|600 символов нужно символов осталось
1

Попробую изложить решение (в соответствии с тем, как я понял условие). Требуется рассмотреть линейную функцию $%w=cz+d$%, где $%c,d\in\mathbb C$%, которая вертикальную полосу $%a\le x\le a+h$% отображает на полосу между нулём и единицей. Для начала просто рассмотрим обычное линейное отображение в действительной области, переводящее отрезок $%[a,a+h]$% в $%[0;1]$%. Для этого из аргумента функции нужно вычесть $%a$% и разделить на $%h$%. Прямая $%x=a+\frac{h}2$% посередине полосы перешла в прямую $%x=\frac12$%. Теперь надо, чтобы точка этой прямой с мнимой частью, равной нулю, приобрела мнимую часть, равную 1, а точка с мнимой частью 1 приобрела мнимую часть строго меньше 1, в качестве чего подходит 0.

Далее разворачиваем полосу центрально симметрично относительно $%\frac12(1+i)$%. Полусумма прообраза и образа при этом равна центру, поэтому сумма равна $%1+i$%, и это преобразование $%z\mapsto1+i-z$%. Остаётся рассмотреть композицию, что приводит к формуле $%1+i-\frac{z-a}h$%. Это линейная на всей плоскости функция, что и требовалось.

ссылка

отвечен 5 Окт '17 12:40

@falcao Мне кажется, или ТФКП одна из самых сложных частей математики? Ну просто очень тяжело что-то понять в нем, хотя на все пары хожу... На других парах хотя бы понятно что делать нужно.

(5 Окт '17 20:56) Стас001
1

@Стас001: я так не думаю. ТФКП -- очень даже интересная и содержательная вещь. Она уж никак не сложнее, например, дифференциальной геометрии со всякими тензорами кривизны и прочими подобными вещами. А вот задача "левоватая", и собственно к комплексным числам она имеет мало отношенияю

(5 Окт '17 20:59) falcao

@falcao Спасибо.

(5 Окт '17 21:04) Стас001
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×482

задан
4 Окт '17 20:17

показан
631 раз

обновлен
5 Окт '17 21:04

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru