Подскажите, откуда следует, что базис Гамеля в банаховом пространстве обязательно несчётен?

задан 4 Окт '17 23:20

10|600 символов нужно символов осталось
2

Тут надо сделать оговорку насчёт того, что пространство бесконечномерно. В R^n базис конечен.

Предположим, что банахово пространство имеет счётный базис Гамеля e(1), e(2), ... , e(n), ... . Тогда оно является счётным объединением конечномерных подпространств. По теореме Бэра, оно не может быть счётным объединением нигде не плотных множеств. Тогда получается, что некоторое конечномерное подпространство плотно в некотором открытом шаре. Легко видеть, что конечномерное подпространство полного пространства является замкнутым. Это следует, например, из того, что все нормы в R^n эквивалентны, и индуцированную норму можно считать обычной евклидовой. Тогда всякая последовательность Коши в подпостранстве будет сходиться к элементу этого же подпространства ввиду его полноты.

Получается, что конечномерное подпространство содержит шар в норме банахова пространства. Но этого быть не может, так как любой вектор банахова пространства можно поместить в шар малого радиуса с центром в нуле, а потом сдвинуть на фиксированный вектор, попадая в конечномерное подпространство. Если бы так было, то само пространство было бы конечномерным, но это по условию не так.

ссылка

отвечен 5 Окт '17 0:49

@falcao: не могли бы вы пояснить, пожалуйста. В моем вопросе math.hashcode.ru/questions/187426/ про базис Гамеля не сказано. По идее он может и не существовать, у нас же не обязательно линейное пространство

(13 Ноя '19 13:31) Konon
1

@Konon, слово "банахово" подразумевает линейность и полноту по норме. Иначе было бы сказано "полное". Да и без линейности как ввести понятие лин. независимой системы векторов, через которую определяем размерность?

(13 Ноя '19 13:36) caterpillar

@falcao: я понял, у нас же векторное пространство. Не обращайте внимания на предыдущий вопрос.

(13 Ноя '19 13:37) Konon

@caterpillar: точно, спасибо.

(13 Ноя '19 13:37) Konon
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×643

задан
4 Окт '17 23:20

показан
603 раза

обновлен
13 Ноя '19 13:37

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru