Для двух подмножеств $%S,T$% метрического пространства определим $%dist(S,T)=inf\{d(x,y): x\in S, y\in T\}$%. Пусть $%S\cap T$% пусто и $%S,T$% компактны.

1) Доказать $%\exists s\in S, t\in T: d(s,t)=dist(S,T)$%

2) Всегда ли верно $%dist (S,T)>0$%?

задан 5 Окт '17 8:43

10|600 символов нужно символов осталось
2
  1. Сначала фиксируем точку х в S и будем менять точку y в T. Так как расстояние - непрерывная функция от своих аргументов, то по т. Вейерштрасса на T есть точка у(х), в которой расстояние от фиксированной х до точек из Т минимально. В свою очередь, по неравенству треугольника, функция d(x,y(x)) - непрерывна на S и достигает минимума в некоторой точке х. Другой вариант доказательства - сразу рассмотреть непрерывную функцию расстояния на компакте - прямом произведении компактов S и T и применить т. Вейерштрасса.

2.Для непересекающихся компактов S и T расстояние между ними всегда положительно, иначе у них будет общая точка, а, например, расстояние между гиперболой и ее асимптотой равно 0, хотя гипербола и ее асимптота не пересекаются.

ссылка

отвечен 5 Окт '17 9:26

Почему "иначе у них будет общая точка"? Это очевидно или требует доказательства?

(5 Окт '17 9:35) wart
1

Если расстояние от точки одного множества до точки другого множества равно 0, то по аксиомам метрики это одна и та же точка.

(5 Окт '17 10:41) Амфибрахий
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,618

задан
5 Окт '17 8:43

показан
244 раза

обновлен
5 Окт '17 10:41

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru