Назовём натуральное число удачным, если цифры в его десятичной записи можно разбить на две группы так, что суммы цифр в этих группах равны.

Назовём тройку удачных чисел счастливой, если эти три числа образуют арифметическую прогрессию с разностью 2.

Найдите счастливую тройку удачных чисел с наименьшей суммой.

задан 5 Окт '17 16:26

1

И разве это не 1197, 1199 и 1201?

(5 Окт '17 16:36) knop

@knop, ещё бы доказать, что она наименьшая...

(5 Окт '17 16:39) Аллочка Шакед
1

А, неправ. Есть же тупо 1120, 1122, 1124.

(5 Окт '17 16:49) knop

Первый пример не наименьший, но он даёт четвёрку вместе с 1203 (среди четвёрок она наименьшая). А вот пятёрок уже не бывает, насколько я понимаю.

(5 Окт '17 16:59) falcao

@falcao 11196, 11198, 11200, 11202, 11204. Бывают и длиннее цепочки. От 11111111190 до 11111111208.

(5 Окт '17 19:06) knop

@knop: да, и правда! Я почему-то решил, что дописывание чисел слева ничего не даёт, но это не так.

(5 Окт '17 19:18) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
1

Тройка 1098, 1100, 1102 является счастливой. Докажем, что первое число является наименьшим возможным (что равносильно минимальности суммы чисел вида n, n+2, n+4).

Двузначные удачные числа делятся на 11. Среди них нет отличающихся на 2.

Рассмотрим трёхзначные числа. При переходе от n к n+2 или от n+2 к n+4 двойка прибавляется к последней цифре без перехода в следующий разряд. Если оба числа с записью abc и ab(c+2) удачные, то c+2=a+b. Также либо a=b+c, либо b=a+c. Это даёт b=1, a=c+1 или a=1, b=c+1. Числа имеют запись (c+1)1c, (c+1)1(c+2) или 1(c+1)c, 1(c+1)(c+2). Несложный перебор показывает, что третье удачное число не пристроить (достаточно проверять те случаи, когда где-то происходят переходы в следующий разряд -- их не так много).

Среди 4-значных чисел, ввиду наличия примера, достаточно брать первые две цифры 10. Две другие должны отличаться на 1. При этом где-то должно получиться 11 в начале -- в противном случае 0 можно изъять, что даёт 3=значный случай. Значит, после 10 идёт 9, и тогда за ней 8, что и даёт пример.

Следующей тройкой будет 1120, 1122, 1124. Наибольший 4-значный пример -- это 8897, 8899, 8901.

ссылка

отвечен 5 Окт '17 16:56

@falcao, большое спасибо!

(8 Окт '17 0:30) Аллочка Шакед
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,392
×1,114
×308
×150
×128

задан
5 Окт '17 16:26

показан
467 раз

обновлен
8 Окт '17 0:30

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru