Найдите все простые p и натуральные n, удовлетворяющие равенству p^2 + n^2 = 3pn + 1.

задан 5 Окт '17 23:07

10|600 символов нужно символов осталось
0

p(3n-p)=(n-1)(n+1)

При n=1 сразу имеем p=3. Пусть n > 1. Из чисел n-1, n+1 хотя бы одно делится на p. Рассматриваем два случая.

1) n-1=pk, k натуральное. Подстановка в уравнение и сокращение на p дают 3pk-p+1=k(pk+2), откуда p(k^2-3k+1)=3-2k.

2) n+1=pk, и здесь будет 3pk-p-3=(pk-2)k, то есть p(k^2-3k+1)=2k-3.

Легко видеть, что (k^2-3k+1)-(3-2k)=k^2-k-2=(k+1)(k-2) > 0 при k>=3. Случаи k=1, k=2 в пункте 1) разбираем отдельно, и они не подходят.

Далее, (k^2-3k+1)-(2k-3)=k^2-5k+4=(k-1)(k-4) > 0 при k>=5. В пункте 2) смотрим случаи 1<=k<=4. Первый и последний дают p=1, и это не подходит. Также не подходит k=2, где p отрицательно, а при k=3 получается p=3, то есть n=8. Это ещё одно решение, а всего их у уравнения два.

Здесь есть связь с числами Фибоначчи, но мы её не касались.

ссылка

отвечен 6 Окт '17 0:14

А как решить через числа Фибоначчи?

(6 Окт '17 19:53) onjbs

@onjbs: я опишу только основную идею, потому что в целом это всё будет длинно. Можно рассмотреть уравнение общего вида m^2+n^2=3mn+1. Его решения могут быть описаны через числа Фибоначчи. С точностью до симметрии, решениями будут (1,3), (3,8), (8,21), (21,55) и так далее, то есть (F_{2k},F_{2k+2}). Простыми могут быть только числа Фибоначчи с нечётными номерами, за исключением F_4=3. Но сама задача, когда дана простота p, технически гораздо проще.

(6 Окт '17 20:48) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,701

задан
5 Окт '17 23:07

показан
1030 раз

обновлен
6 Окт '17 20:48

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru