|
Имеем задан 7 Окт '17 21:58 
nimba4 |
|
Как можно доказать неверный факт? Эта группа циклической не является. Может быть, имеется в виду доказательство того, что эта группа не циклична, но без использования критерия? Тогда это сделать нетрудно. Группа $%\mathbb Z_n^{\ast}$% имеет порядок $%\varphi(n)$%. В данном случае это $%\varphi(2)\varphi(3)\varphi(5)\varphi(7)=2\cdot4\cdot6=48$%. Она была бы циклической, если бы в ней был элемент порядка 48 (это необходимо и достаточно). Докажем, что такого элемента нет. Пусть $%g$% -- произвольный элемент группы. Это класс вычетов целого числа $%a$% не делящегося ни на 2, ни на 3, ни на 5, ни на 7. Тогда для любого из этих четырёх простых чисел можно применить малую теорему Ферма, согласно которой $%a^{p-1}$% сравнимо с 1 по модулю $%p=2,3,5,7$%. Число $%p-1$% принимает здесь значения 1,2,4,6. Поэтому $%a^{12}$% сравнимо с 1 по любому из четырёх простых значений. Они взаимно просты, откуда следует, что $%a^{12}-1$% делится на их произведение, а это 210. Значит, $%g^{12}=1$% в группе. Отсюда следует, что она не циклическая. отвечен 7 Окт '17 22:13 
falcao А можно ли было зайти с этой стороны?
(7 Окт '17 22:30)
nimba4
1
@nimba4: конечно, можно. Но при этом используется то, что группа изоморфна прямому произведению, что является следствием китайской теоремы об остатках. Это уже шаг в направлении критерия. Я предпочёл более слабый вариант. Из того рассуждения, которое Вы привели, в итоге следует, что любой элемент группы в 12-й степени равен 1. Это несколько точнее, чем утверждение о том, что "наш элемент" (какой?) имеет порядок ровно 12. Здесь достаточно того, что порядок любого элемента делит 12.
(7 Окт '17 22:36)
falcao
@falcao Понятно. 1) "Это класс вычетов целого числа
(8 Окт '17 13:53)
nimba4
1
@nimba4: группа Z_n^* состоит из классов вычетов чисел, взаимно простых с n. Это ключевой факт, который всегда надо иметь в виду при работе с этой группой. Если p=2,3,5,7, то p-1=1,2,4,6 (числа появляются именно по этой причине). Все эти числа делят 12. Значит, из a^{p-1}=1 (mod p) следует, что a^{12}=1 (mod p). Это очевидный факт: сравнение возвели в степень с показателем 12/(p-1).
(8 Окт '17 14:13)
falcao
|