Имеем Z*_210. Нужно доказать, что это циклическая группа, либо опровергнуть это. Нельзя использовать следующую теорему: группа Z*_n является циклической тогда и только тогда, когда n=2,4 или n=p^k, или n=2*p^k, где p - простое нечётное, k - произвольное натуральное. По этой теореме мы уже видим, что группа не циклическая, однако нужно найти другой путь доказательства того, что она не циклическая. Помогите, пожалуйста.

задан 7 Окт '17 21:58

изменен 7 Окт '17 22:15

10|600 символов нужно символов осталось
1

Как можно доказать неверный факт? Эта группа циклической не является. Может быть, имеется в виду доказательство того, что эта группа не циклична, но без использования критерия? Тогда это сделать нетрудно.

Группа $%\mathbb Z_n^{\ast}$% имеет порядок $%\varphi(n)$%. В данном случае это $%\varphi(2)\varphi(3)\varphi(5)\varphi(7)=2\cdot4\cdot6=48$%. Она была бы циклической, если бы в ней был элемент порядка 48 (это необходимо и достаточно). Докажем, что такого элемента нет.

Пусть $%g$% -- произвольный элемент группы. Это класс вычетов целого числа $%a$% не делящегося ни на 2, ни на 3, ни на 5, ни на 7. Тогда для любого из этих четырёх простых чисел можно применить малую теорему Ферма, согласно которой $%a^{p-1}$% сравнимо с 1 по модулю $%p=2,3,5,7$%. Число $%p-1$% принимает здесь значения 1,2,4,6. Поэтому $%a^{12}$% сравнимо с 1 по любому из четырёх простых значений. Они взаимно просты, откуда следует, что $%a^{12}-1$% делится на их произведение, а это 210. Значит, $%g^{12}=1$% в группе. Отсюда следует, что она не циклическая.

ссылка

отвечен 7 Окт '17 22:13

А можно ли было зайти с этой стороны? Z*_210 изоморфно Z*_2 x Z*_3 x Z*_5 x Z*_7 - имеют порядки 1,2,4,6 соотв. Наш элемент имеет порядок НОК (1,2,4,6)=12 ? Или это не обоснованно ?

(7 Окт '17 22:30) nimba4
1

@nimba4: конечно, можно. Но при этом используется то, что группа изоморфна прямому произведению, что является следствием китайской теоремы об остатках. Это уже шаг в направлении критерия. Я предпочёл более слабый вариант.

Из того рассуждения, которое Вы привели, в итоге следует, что любой элемент группы в 12-й степени равен 1. Это несколько точнее, чем утверждение о том, что "наш элемент" (какой?) имеет порядок ровно 12. Здесь достаточно того, что порядок любого элемента делит 12.

(7 Окт '17 22:36) falcao

@falcao Понятно. 1) "Это класс вычетов целого числа a не делящегося ни на 2, ни на 3, ни на 5, ни на 7. ": а почему именно не делящегося? 2) "Число p−1 принимает здесь значения 1,2,4,6. Поэтому a^12 сравнимо с 1 по любому из четырёх простых значений." Потому что 1,2,4,6 делят 12? Из этого следует, что a^12 сравнимо по тому же модулю, что и делители? Это теорема какая-то, лемма или просто очевидно?

(8 Окт '17 13:53) nimba4
1

@nimba4: группа Z_n^* состоит из классов вычетов чисел, взаимно простых с n. Это ключевой факт, который всегда надо иметь в виду при работе с этой группой.

Если p=2,3,5,7, то p-1=1,2,4,6 (числа появляются именно по этой причине). Все эти числа делят 12. Значит, из a^{p-1}=1 (mod p) следует, что a^{12}=1 (mod p). Это очевидный факт: сравнение возвели в степень с показателем 12/(p-1).

(8 Окт '17 14:13) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×344
×67

задан
7 Окт '17 21:58

показан
283 раза

обновлен
8 Окт '17 14:13

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru