На шахматной доске стоит несколько слонов.

а) Докажите, что найдётся диагональ, на которой стоит чётное число слонов.

б) Докажите, что таких диагоналей хотя бы две, причём одна из них белая, а другая чёрная.

в) Может ли оказаться, что таких диагоналей ровно две?

Примечание: диагональ, состоящая всего из одного поля, тоже считается диагональю.

задан 8 Окт '17 0:31

10|600 символов нужно символов осталось
1

в) Расставим чёрных слонов вдоль одной длинной диагонали (a1-h8), а белых вдоль другой (a8-h1). Тогда на всех остальных диагоналей стоит ровно по одному слону. Ответ положительный.

б) Чёрных и белых слонов можно рассматривать независимо. Достаточно рассмотреть случай, когда на доске стоят только чёрные слоны. Проверим, что найдётся диагональ с чётным числом чёрных слонов, рассуждая от противного. Тогда для белых слонов всё аналогично.

На a1 и на h8 должно стоять по слону. Они принадлежат одной и той же диагонали, поэтому эти клетки можно изъять из рассмотрения. При этом на каждой из оставшихся диагоналей, без учёта удалённых клеток, останется нечётное число слонов. У нас имеется 13 чернопольных диагоналей. Если просуммировать количество слонов на каждой из них, то получится нечётное число. С другой стороны, каждый слон в получившейся конфигурации бьёт ровно две диагонали, и тогда тот же подсчёт даёт чётное число. Здесь мы двумя способами подсчитывали число пар вида (слон,диагональ).

ссылка

отвечен 8 Окт '17 2:27

@falcao, большое спасибо!

(9 Окт '17 0:35) Аллочка Шакед
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,020
×725
×213
×143
×122

задан
8 Окт '17 0:31

показан
220 раз

обновлен
9 Окт '17 0:35

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru