|
На шахматной доске стоит несколько слонов. а) Докажите, что найдётся диагональ, на которой стоит чётное число слонов. б) Докажите, что таких диагоналей хотя бы две, причём одна из них белая, а другая чёрная. в) Может ли оказаться, что таких диагоналей ровно две? Примечание: диагональ, состоящая всего из одного поля, тоже считается диагональю. задан 8 Окт '17 0:31 
Аллочка Шакед |
|
в) Расставим чёрных слонов вдоль одной длинной диагонали (a1-h8), а белых вдоль другой (a8-h1). Тогда на всех остальных диагоналей стоит ровно по одному слону. Ответ положительный. б) Чёрных и белых слонов можно рассматривать независимо. Достаточно рассмотреть случай, когда на доске стоят только чёрные слоны. Проверим, что найдётся диагональ с чётным числом чёрных слонов, рассуждая от противного. Тогда для белых слонов всё аналогично. На a1 и на h8 должно стоять по слону. Они принадлежат одной и той же диагонали, поэтому эти клетки можно изъять из рассмотрения. При этом на каждой из оставшихся диагоналей, без учёта удалённых клеток, останется нечётное число слонов. У нас имеется 13 чернопольных диагоналей. Если просуммировать количество слонов на каждой из них, то получится нечётное число. С другой стороны, каждый слон в получившейся конфигурации бьёт ровно две диагонали, и тогда тот же подсчёт даёт чётное число. Здесь мы двумя способами подсчитывали число пар вида (слон,диагональ). отвечен 8 Окт '17 2:27 
falcao @falcao, большое спасибо!
(9 Окт '17 0:35)
Аллочка Шакед
|