Если к упорядоченной независимой системе векторов приписать впереди ещё один вектор b, то не более чем один вектор новой системы будет линейно выражаться через предыдущие. Помогите, пожалуйста, доказать.

задан 8 Окт '17 15:39

Тут неплохо бы знать, что уже изучено и чем можно пользоваться. Например, известна ли теорема о базисном миноре? Или нужно использовать лишь определение?

(8 Окт '17 15:42) no_exception

@no_exception только определение и теоремы, связанные с линейным пространством

(8 Окт '17 16:05) Артемон

@Артемон: по-моему, тут почти нечего доказывать. Ведь понятно, что выражаться может только вектор b -- если он вообще выражается. Никакой другой вектор через предыдущие выражаться не может по известному свойству линейно независимой системы.

(8 Окт '17 17:23) falcao

Может быть, имелось в виду, что b приписано в самом начале? Тогда что-то доказывать будет нужно, хотя это и несложно. А "впереди", по-моему, означает "справа". Среди чисел 5, 8, 7 какое написано впереди? Наверное, все скажут, что 7.

(8 Окт '17 17:28) falcao

@falcao я вот сам понял не могу, мне кажется, что авторы задачи имели ввиду в начале

(8 Окт '17 17:32) Артемон

Может опечатка? Должно быть "спереди"?

(8 Окт '17 17:34) no_exception

@falcao, Среди чисел 5, 8, 7 какое написано впереди? - 5...

(8 Окт '17 17:56) all_exist

@all_exist: оказывается, даже по такому вопросу могут быть разные мнения :) Это к вопросу о пользе точных и однозначных формулировок.

Интересно, как в этом контексте понимать слова известной советской песни "Гайдар шагает впереди?" :)

(8 Окт '17 18:12) falcao

@falcao, про Гайдара - то там есть направление движения... )))

а про элементы, которые записаны в строку - я привык читать и нумеровать слева направо... поэтому добавление вперёд для меня - это приписывание перед наименьшим номером...

(8 Окт '17 19:27) all_exist

@all_exist: так и я слева направо читаю и нумерую. И на числовой прямой есть "привилегированное" направление слева направо. Поэтому "вперёд" должно означать "по направлению стрелки", разве нет?

(8 Окт '17 20:51) falcao

@falcao, на физкультуре проводили расчёт по номерам... а потом бежали по кругу за "первым", а не за "двадцать третьим"... )))

(8 Окт '17 20:58) all_exist
показано 5 из 11 показать еще 6
10|600 символов нужно символов осталось
0

Доказывается от противного...

Пусть $%a_1,\ldots,a_n$% - независимые векторы... дописали к ним вектор $%b$%...
Предполагаем, что есть два вектора $%a_k$% и $%a_m$%, где $%k < m$%, которые можно представить как линейную комбинацию предыдущих... $$ \alpha_0 b+\alpha_1a_1+\ldots+\alpha_{k-1}a_{k-1} = a_k $$ $$ \beta_0 b+\beta_1a_1+\ldots+\beta_{k-1}a_{k-1}+\beta_ka_k\ldots+\beta_{m-1}a_{m-1} = a_m $$ Из независимости исходного набора следует, что $%\alpha_0\neq 0,\;\beta_0\neq 0$% ... то есть на них можно равенство разделить... Осталось вычесть полученные равенства и избавиться от $%b$%... и, опять же опираясь на независимость исходного набора, получить противоречие...

ссылка

отвечен 8 Окт '17 16:35

изменен 8 Окт '17 17:59

Скажите, пожалуйста, почему в первом случае коэффициенты альфа, а во втором Бетта? И не совсем понял концовку «опять же опираясь на независимость исходного набора, получить противоречие...»

(8 Окт '17 16:46) Артемон

в первом случае коэффициенты альфа, а во втором Бетта? - ну, разные векторы же раскладываете...

И не совсем понял концовку - не могут независимые векторы давать нулевой вектор при ненулевых коэффициентах...

(8 Окт '17 17:58) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
0

Я хочу всё-таки написать свою версию рассуждения для той трактовки условия, когда новый вектор добавляется в начало. Цель при этом такая: как можно меньше работать с коэффициентами, объясняя всё преимущественно словесно.

Лемма. Пусть система векторов линейно независима. К ней добавили новый вектор. Тогда она будет линейно зависимой <=> новый вектор линейно выражается через векторы исходной системы.

<= Если новый вектор выражается, но переносим его в другую часть с противоположным знаком. Коэффициент при нём будет равен -1, и уравнение линейной зависимости окажется нетривиальным.

=> Запишем нетривиальное уравнение линейной зависимости для системы с добавленным вектором. Коэффициент при нём будет ненулевой, так как в противном случае получается линейная зависимость исходной системы. Тогда в одной части оставляем новый вектор, переносим все остальные векторы в другую часть и делим на ненулевой коэффициент, получая линейное выражение нового вектора через старые.

Теперь рассуждение для самой задачи. Если после добавления нового вектора система остаётся линейно независимой, то доказывать нечего: никакой вектор не выражается через остальные. Если система линейно зависима, то новый вектор b выразится через остальные. Если он нулевой, то всё просто: векторы старой системы по-прежнему не выражаются через предыдущие. Пусть b ненулевой. Тогда рассмотрим наименьшее k, для которого система b,a(1),...,a(k) стала линейно зависимой. Такое k>=1 существует, поскольку для k=n линейная зависимость имеет место. В этом случае по Лемме, вектор b выражается через a(1),...,a(k). Значит, если a(m) при m > k выражался бы через b,a(1),...,a(m-1), то он выражался бы и через a(1),...,a(m-1) -- противоречие.

ссылка

отвечен 8 Окт '17 21:14

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,332

задан
8 Окт '17 15:39

показан
720 раз

обновлен
8 Окт '17 21:14

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru