Доказать, что lim n -> inf xn = 0, если xn = (n + 1) ^ a - n ^ a, 0 < a < 1 условие

задан 8 Окт '17 16:48

10|600 символов нужно символов осталось
2

Меня, как и многих других участников форума, страшно коробит выражение "доказать предел". Доказать можно только утверждение, а предел -- это обычно число. Утверждение о существовании предела доказать можно, но это ведь не сам предел?

К двум рассматриваемым пунктам можно добавить промежуточный случай, когда $%\alpha=1$%. Он, конечно, очевиден, но там значение предела равно 1.

Начало рассуждения для обоих пунктов одинаковое. Вынесем множитель $%n^{\alpha}$%. Останется выражение $%(1+\frac1n)^{\alpha}-1$%, где $%t=\frac1n\to0$%. Известно, что для всех $%a$% имеет место формула Тейлора $%(1+t)^a=1+at+o(t)$% при $%t\to0$%, что можно также записать в виде $%1+at(1+o(1))$%. В нашем случае это даст $%1+\frac{\alpha}n(1+o(1))$%. Вычитая единицу и домножая на $%n^{\alpha}$%, имеем $%\alpha n^{\alpha-1}(1+o(1))$%.

Теперь рассматриваем отдельно оба пункта. При $%\alpha > 1$% второй сомножитель стремится к $%+\infty$%, а третий к единице, поэтому произведение также стремится к $%+\infty$%.

При $%\alpha=(0;1)$% второй сомножитель $%\frac1{n^{1-\alpha}}$% стремится к нулю, так как знаменатель стремится к бесконечности. Тем самым, всё произведение стремится к нулю.

ссылка

отвечен 8 Окт '17 17:16

Огромное спасибо за помощь! Прошу прощения за подобную формулировку, в будущем постараюсь не допускать таких ошибок

(8 Окт '17 17:22) FrostABC

@falcao, с формулой Тейлора все понятно, и, видимо, можно даже просто воспользоваться заменой на эквивалентную (впрочем, Ваше разложение по сути то и есть :)). Вопрос, думаю я, в другом. Как без использования "высокой" теории, изучив только предел последовательности, это доказать?

(8 Окт '17 17:23) no_exception

Видимо, я ошибся

(8 Окт '17 17:27) no_exception

Актуальный вопрос!

(8 Окт '17 17:42) FrostABC
2

@no_exception: я допускал такую ситуацию, что пределы уже изучены, а производные пока ещё нет. Тогда можно адаптировать рассуждение, доказывая формулу Тейлора для этого частного случая "кустарно". То, что e^t ~ 1+t есть следствие второго замечательного предела для функций, а при переходе к обратным функциям получается ln(1+t) ~ t. Отсюда всё получается логарифмированием (1+t)^a. Но вообще-то в условии полагается все ограничения на средства доказательства явно оговаривать.

(8 Окт '17 18:03) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,618

задан
8 Окт '17 16:48

показан
333 раза

обновлен
8 Окт '17 18:03

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru