Решить уравнение: $%\varphi(nx)=\varphi(x)$%, где $%n\in\mathbb{N}$%

задан 8 Окт '17 22:29

10|600 символов нужно символов осталось
1

Случай $%n=1$% очевиден, его далее не рассматриваем.

Известно, что отношение $%\frac{\varphi(m)}m$% равно $%\prod\limits_p(1-\frac1p)$%, где произведение берётся по всем простым делителям числа $%m$%. Записывая уравнение в виде $%\frac{\varphi(nx)}{nx}=\frac1n\cdot\frac{\varphi(x)}x$%, имеем после сокращения $%\prod\limits_p(1-\frac1p)=\frac1n$%, где произведение берётся по всем простым делителям числа $%n$%, которые не делят $%x$%.

Понятно, что $%1-\frac1p\ge\frac1p$%, причём равенство имеет место только для $%p=2$%. Отсюда $%\frac1n\ge\prod\limits_p\frac1p$%, то есть $%n\le\prod\limits_pp$%. Неравенство в обратную сторону очевидно, так как все рассматриваемые $%p$% делят $%n$%, и их произведение также делит, поэтому оно не превосходит $%n$%.

Таким образом, во всех неравенствах имеет место равенство. Это значит, что $%p=2$% присутствует в одном экземпляре, откуда $%n=2$%. Также отсюда следует, что $%x$% нечётно.

Таким образом, либо $%n=1$%, $%x$% любое натуральное, либо $%n=2$%, $%x$% нечётно.

ссылка

отвечен 8 Окт '17 23:22

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×909

задан
8 Окт '17 22:29

показан
527 раз

обновлен
8 Окт '17 23:22

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru