Пусть $%f:\{z\in \mathbb C : |z| <1\}\rightarrow \mathbb C$% инъективная голоморфная функция, оставляющая нуль на месте. Доказать, что существует инъективная голоморфная функция $%g:\{z\in \mathbb C : |z| <1\}\rightarrow \mathbb C$% такая что $%(g(z))^2=f(z^2)$%. Показать, что такая функция нечетна.

Теорема. Если $%f$% голоморфна в области $%U$% и имеет нуль порядка $%k$% в точке $%z=a$%, то существует голоморфная функция на $%D_r(a)=\{|z-a| < r\}$% с простым нулем в $%z=a$%, такая что $%f(z)=(g(z))^k$%

Можно рассмотреть функцию $%h:\{z\in \mathbb C : |z| <1\}\rightarrow \{z\in \mathbb C : |z| <1\}\rightarrow \mathbb C$%, $%z\mapsto z^2\mapsto f(z^2)$%. Она имеет нуль порядка 2 в нуле: $%h'(0)=0, h''(z)=2f'(z^2)+4z^3f''(z^2)$% - это никогда не равно нулю, т.к. $%f'(z)\ne 0$% в силу того, что $%f$% конформное отображение на образ (в силу биголоморфности и инъективности). Тогда по теореме выше существует функция $%g: \{|z| < r\}\rightarrow \mathbb C$% с простым нулем в нуле, такая что $%f(z^2)=g(z)^2$%. Но почему существует функция на всём единичном диске и почему она нечетна, неясно.

А если так:

Пусть $%q(z)=f(z^2)/z^2$%. Эта функция голоморфна в единичном диске и не имеет в нем нулей. Поэтому существует голоморфная функция $%h(z)$% такая что $%h(z)^2=q(z)$%. Т.к. $%q$% четна, $%h^2$% четна, поэтому $%(h(z)-h(-z))(h(z)+h(-z))=0$%; но если $%h(z)=-h(-z)$%, то $%h(0)=0$%, что неверно, поэтому $%h$% четна. Пусть $%g(z)=zh(z)$%. Тогда $%g(z)^2=f(z^2)$%, и если $%g(z_1)=g(z_2),$% то $%z_1^2=z_2^2$%; если $%z_1=-z_2$%, то $%g(z_1)=-g(z_2)$%, откуда $%g(z_1)=g(z_2)=0$%, и тогда $%f(z_1^2)=0\implies z_1=z_2=0$%. Значит, $%g$% инъективна.

задан 9 Окт '17 6:12

изменен 12 Окт '17 4:17

Хорошая задача сама по себе, но мне понятна лишь общая схема её решения, а детали я не продумывал. Скорее всего, там надо локально восстанавливать функцию g, беря подходящую ветвь квадратного корня. Но мне самому интересно, как это полагается делать "по науке". Может, кто-нибудь из участников форума это продемонстрирует?

(11 Окт '17 21:20) falcao

Я добавил некоторые мысли... Не знаю, в правильном они направлении или нет

(11 Окт '17 22:18) Slater

@Slater: скорее всего, в правильном, но я эти вещи систематически не изучал, поэтому не могу точно ничего сказать. Мне как раз интересно, как бы эту задачу решал специалист, который знает здесь все "ходы и выходы". Я бы делал всё "кустарно", без использования сложных теорем. Из локального анализа функций должно быть понятно, как всё выглядит в окрестности -- это ветвь квадратного корня, которая выбирается одним из двух способов. Потом вступает в силу идея аналитического продолжения, когда разные "кусочки" однозначным образом "сшиваются". Отсюда нечётность должна следовать.

(11 Окт '17 23:36) falcao

Добавил еще одно рассуждение, но там, насколько я понимаю, есть пробел: корни можно извлекать локально в окрестности каждой точки, не являющейся нулем (по теореме о неявной функции), но непонятно, почему они склеиваются в один глобально определенный корень на всем диске.

(12 Окт '17 4:23) Slater
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×455

задан
9 Окт '17 6:12

показан
315 раз

обновлен
12 Окт '17 4:23

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru