|
Докажите, что если $%|z|=1$%, $%z\neq1$%, то $%z$% можно представить в виде $%z= \frac{a+i}{a-i} $%, где а-действительное число. задан 18 Фев '13 20:02 
ilia |
|
Обозначим $$i \frac{z+1}{z-1} = a.$$ Тогда $$z=\frac{a+i}{a-i}.$$ Т.к. $%|z|=1,$% то $$\bar z = \frac1z.$$ Сдедовательно, $$\bar a = -i \frac{\bar z + 1}{\bar z - 1} = -i \frac{\frac1z + 1}{\frac1z - 1}= -i \frac{1 + z}{1 - z}=i \frac{z+1}{z-1} = a,$$ что означает, что а - действительное число. отвечен 18 Фев '13 20:26 
splen |
|
если $%|z|=1$%, $%z\neq1$%, то $%z$% можно представить $%z=cos\varphi+i sin\varphi=\frac{ctg^2(\varphi/2)-1}{ctg^2(\varphi/2)+1}+i\frac{2ctg(\varphi/2)}{ctg^2(\varphi/2)+1}=\frac{a^2-1}{a^2+1}+i\frac{2a}{a^2+1}=\frac{a^2+2ai-1}{a^2+1}=$% $%=\frac{(a+i)^2}{(a+i)(a-i)}=\frac{a+i}{a-i},$% где $%a=ctg(\varphi/2).$% отвечен 19 Фев '13 21:29 
ASailyan |
@ilia, Если вы получили исчерпывающий ответ, отметьте его как принятый.