Как доказать, что для любых комплексных чисел $%Z_1$% и $%Z_2$% выполняется равенство $$|Z_1+Z_2|^2 +|Z_1-Z_2|^2=2(|Z_1|^2+|Z_2|^2)$$

задан 18 Фев '13 20:06

изменен 18 Фев '13 21:55

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

1

@ilia, Пользуйтесь, пожалуйста, редактором формул.

(18 Фев '13 20:38) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
4

1) способ.Пусть $%z_1=x_1+y_1i$% и $%z_2=x_2+y_2i,$% тогда $%|z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2=(x_1+x_2)^2+(y_1+y_2)^2+(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2=$% $%=2(x_1^2+y_1^2)+2(x_2^2+y_2^2)=2|z_1|^2+2|z_2|^2.$%

2)способ.Геометрически это означает, что сумма квадратов расстояний от точки $%z_1$% до точек $%z_2$% и $%-z_2$% в два раза больше чем сумма квадратов расстояний от точек $%z_1$% и $%z_2$% до начала координат. $%A(x_1;y_1), B(x_2;y_2), D(-x_2;-y_2),AB=|z_1-z_2|,AD=|z_1+z_2|,AO=|z_1|,BO=|z_2|.$% Тогда согласно свойству диагоналей параллеограмма: $%2AB^2+2AD^2=AC^2+BD^2\Rightarrow $%

$%\Rightarrow 2|z_1-z_2|^2+2|z_1+z_2|^2=(2|z_1|)^2+(2|z_2|)^2\Rightarrow |z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2=2|z_1|^2+2|z_2|^2.$%

alt text

ссылка

отвечен 20 Фев '13 15:08

изменен 20 Фев '13 21:09

спасибо за исчерпывающий красивый ответ.

(21 Фев '13 17:39) ilia

Вам надо принимать ответы. Чтобы принять ответ, который вам больше нравится, нажимайте на галочку в верхнем левом углу ответа ниже ручки пальцем вниз (она станет зеленым, и у вас будет +2 очка). У Вас уже больше 10-и не принятых вопросов. Принимайте их и авторы ответов будут давольны.

(21 Фев '13 18:16) ASailyan
10|600 символов нужно символов осталось
2

$$|z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2=(z_1+z_2)(\bar z_1+\bar z_2)+(z_1-z_2)(\bar z_1-\bar z_2)=$$ $$=|z_1|^2+z_1 \bar z_2 + z_2 \bar z_1 + |z_2|^2 + |z_1|^2-z_1 \bar z_2 - z_2 \bar z_1 + |z_2|^2 = 2 (|z_1|^2 + |z_2|^2).$$

ссылка

отвечен 18 Фев '13 20:18

спасибо все понятно.

(21 Фев '13 17:42) ilia
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,799
×365

задан
18 Фев '13 20:06

показан
1089 раз

обновлен
21 Фев '13 18:16

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru