|
Как доказать, что для любых комплексных чисел $%Z_1$% и $%Z_2$% выполняется равенство $$|Z_1+Z_2|^2 +|Z_1-Z_2|^2=2(|Z_1|^2+|Z_2|^2)$$ задан 18 Фев '13 20:06 
ilia |
|
1) способ.Пусть $%z_1=x_1+y_1i$% и $%z_2=x_2+y_2i,$% тогда $%|z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2=(x_1+x_2)^2+(y_1+y_2)^2+(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2=$% $%=2(x_1^2+y_1^2)+2(x_2^2+y_2^2)=2|z_1|^2+2|z_2|^2.$% 2)способ.Геометрически это означает, что сумма квадратов расстояний от точки $%z_1$% до точек $%z_2$% и $%-z_2$% в два раза больше чем сумма квадратов расстояний от точек $%z_1$% и $%z_2$% до начала координат. $%A(x_1;y_1), B(x_2;y_2), D(-x_2;-y_2),AB=|z_1-z_2|,AD=|z_1+z_2|,AO=|z_1|,BO=|z_2|.$% Тогда согласно свойству диагоналей параллеограмма: $%2AB^2+2AD^2=AC^2+BD^2\Rightarrow $% $%\Rightarrow 2|z_1-z_2|^2+2|z_1+z_2|^2=(2|z_1|)^2+(2|z_2|)^2\Rightarrow |z_1+z_2|^2+|z_1-z_2|^2=2|z_1|^2+2|z_2|^2.$%
отвечен 20 Фев '13 15:08 
ASailyan спасибо за исчерпывающий красивый ответ.
(21 Фев '13 17:39)
ilia
Вам надо принимать ответы. Чтобы принять ответ, который вам больше нравится, нажимайте на галочку в верхнем левом углу ответа ниже ручки пальцем вниз (она станет зеленым, и у вас будет +2 очка). У Вас уже больше 10-и не принятых вопросов. Принимайте их и авторы ответов будут давольны.
(21 Фев '13 18:16)
ASailyan
|
@ilia, Пользуйтесь, пожалуйста, редактором формул.