В клетках таблицы 6×6 записаны числа так, что сумма соседей у каждого числа равна 1 (соседними считаются клетки, имеющие общую сторону). Найдите сумму всех чисел таблицы.

задан 9 Окт '17 20:45

10|600 символов нужно символов осталось
2

Сумма всех чисел равна 12.

Пусть в первой строке написаны числа a,b,c,d,e,f. Тогда вторая строка восстанавливается однозначно из соображений суммы соседей чисел первой строки: 1-b,1-a-c,1-b-d,1-c-e,1-d-f,1-e. (Проверять можно только до половины, а потом использовать симметрию.) Третья строка: c,b+d-1,a+c+e-1,b+d+f-1,c+e-1,d. Четвёртая: 1-d,1-c-e,2-b-d-f,2-a-c-e,1-b-d,1-c. Пятая: e,d+f-1,c+e-1,b+d-1,a+c-1,b. Шестая: 1-f,1-e,1-d,1-c,1-b,1-a.

Для чисел последней строки непосредственно проверяется, что условие о сумме соседей выполнено автоматически. Тем самым, мы получили полное описание всех таблиц из условия. Теперь складываем все числа таблицы и получаем в сумме 12.

Можно также применить соображения типа линейной алгебры. А именно, в верхней строке у нас записан вектор, который является линейной комбинацией единичных векторов. Поэтому можно составить 6 таблиц для каждого из базисных элементов. На самом деле, ввиду симметрии, достаточно заполнить три таблицы -- для верхней строки 100000, для 010000 и для 001000. С числами работать чуть проще нежели с буквенными выражениями. Везде получается сумма 12, и далее из достаточно общих соображений можно доказать, что это всегда будет так.

Можно также рассматривать таблицы, где у любой клетки сумма соседей равна нулю. На примере трёх базисных таблиц легко убедиться, что сумма всех чисел таблицы при этом равна нулю. Ясно, что обе величины аддитивны: при сложении двух таблиц с суммами соседей x и y, получается таблица с суммой соседей x+y, и аналогично для суммы всех чисел. Такой способ требует минимума проверок (с учётом симметрии), и таблицы там получаются совсем простые, но это надо дольше объяснять :)

ссылка

отвечен 9 Окт '17 21:50

1

@falcao, большое спасибо!

(10 Окт '17 1:50) Пацнехенчик ...
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×347

задан
9 Окт '17 20:45

показан
478 раз

обновлен
10 Окт '17 1:50

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru