Утверждение. $%\sum_{n=-\infty}^{\infty}\frac{1}{(z-n)^2}\rightarrow 0$% равномерно по $%x=Re(z)$% при $%|y|=|Im(z)|\rightarrow \infty$%

Непонятно начало доказательства: Т.к. функция Z- периодична, достаточно рассмотреть $%x\in [0,1].$% Поскольку $%|x|+|y|\le 2|x+iy|$%, имеем $%|z-n|\ge\frac{1}{2}(|y|+n-1)$% при $%n\ge 1$% и $%|z-m|\ge\frac{1}{2}(|y|+|m|)$% при $%m\le 0$%.

Откуда взялись эти 3 неравенства?

задан 10 Окт '17 2:28

изменен 11 Окт '17 21:29

По поводу первого неравенства: если z=x+iy, то x=r cos ф, y=r sin ф, и неравенство принимает вид |cos ф|+|sin ф|<=2, что очевидно. Здесь достаточно грубой оценки, но в принципе можно было бы заменить 2 на sqrt(2).

В самом конце написано |m|<=0 -- наверное, это опечатка?

(10 Окт '17 12:42) falcao

Да, опечатка, исправил.

(11 Окт '17 21:30) Slater
10|600 символов нужно символов осталось
1

Первое неравенство: $%|x|+|y|\le 2 \sqrt{x^2+y^2}$% Возводим обе части неравенства в квадрат и делаем очевидные равносильные преобразования: $%x^2+y^2+2|x||y|\le 4(x^2+y^2); 0\le 2(x^2+y^2)+(|x|-|y|)^2.$% Последнее неравенство в цепочек, очевидно, верное. $%|z-n|=|(x-n)+iy| \ge \frac12(|(x-n)|+|y|)\ge \frac12(|(n-1)|+|y|)=\frac12((n-1)+| y|),$% поскольку $%0\le x\le 1, n\ge 1.$% Последнее неравенство получается аналогично.

ссылка

отвечен 10 Окт '17 10:49

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×531
×455

задан
10 Окт '17 2:28

показан
598 раз

обновлен
11 Окт '17 21:30

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru