$%Оператор \ \ A : C[a;b] \rightarrow C[a;b] \\ A:x \mapsto Ax \\ (Ax)(t) = \int\limits_n^t k(t, s)x(s)ds \\ k \in C([a;b]^2) \\ \Rightarrow \ \ Доказать \ \ что \ \ \exists m \ \ такое \ \ что, \ \ A^m \ \ - \ \ сжатие. $%

задан 10 Окт '17 15:16

Что такое $%n$% в нижнем пределе интеграла?...

(10 Окт '17 17:03) all_exist

Если оператор действует в себя, то не должны ли пределы интегрирования быть от a до b? Обозначения t и n для этой цели выглядят странно.

Следует также дать определение сжатия.

(10 Окт '17 18:15) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Возможно $%n$% - это произвольная точка отрезка... но от неё тут ничего не зависит...

Например, для $%m=3$% получим повторный интеграл $$ A^3x(t) = \int\limits_{n}^{t} k(t;t_1)\;dt_1 \int\limits_{n}^{t_1} k(t_1;t_2)\;dt_2 \int\limits_{n}^{t_2} k(t_2;t_3) x(t_3)\;dt_3
$$ Если тупо оценить по модулю.... увеличить отрезок интегрирования... и вынести норму ядра и аргумента за знак интеграла, то получим, что $$ |A^3x(t)| \le \|k\|^3\cdot\|x\|\cdot \int\limits_{a}^{t} \;dt_1 \int\limits_{a}^{t_1} \;dt_2 \int\limits_{a}^{t_2} 1\;dt_3, $$ откуда, вычисляя полученный повторный интеграл, получим, что $$ |A^3x(t)| \le \frac{\|k\|^3\cdot (b-n)^3}{3!}\cdot\|x\| $$ Аналогично, в общем случае имеем $$ |A^m x(t)| \le \frac{\|k\|^m\cdot (b-n)^m}{m!}\cdot\|x\| $$ В числите показательное выражение, которое растёт медленнее факториала... то есть существует $%m$%, при котором $$ \frac{\|k\|^m\cdot (b-n)^m}{m!} \le q < 1 $$ что и означает сжимаемость оператора $%A^m$%...

ссылка

отвечен 10 Окт '17 17:33

изменен 10 Окт '17 19:48

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,462
×917
×123

задан
10 Окт '17 15:16

показан
616 раз

обновлен
10 Окт '17 19:48

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru