Что кроме единичной и нулевой матриц будет входить в это множество?

задан 10 Окт '17 18:45

изменен 10 Окт '17 18:46

Полезно было бы напомнить смысл обозначений. Имеется в виду алгебра Ли? Если мне память не изменяет, so(n) в этом случае состоит из кососимметрических матриц. Тогда откуда там единичная матрица?

(10 Окт '17 21:07) falcao

Да, алгебра Ли. so(n) состоит из кососимметрических, да, тогда Вы совершенно правы, единичная здесь не подходит

(10 Окт '17 21:28) FrostABC
10|600 символов нужно символов осталось
1

Фактически, требуется доказать, что если кососимметрическая матрица $%A$% коммутирует с любой кососимметрической матрицей $%B$%, то она нулевая. Это верно при $%n\ne2$%.

Введём обозначение $%e_{ij}$% для матрицы с 1 на пересечении $%i$%-й строки и $%j$%-го столбца, и остальными элементами 0. Матрица $%e_{ij}-e_{ji}$% кососимметрична. Чтобы $%A$% лежала в центре алгебры, необходимо и достаточно, чтобы она коммутировала с любой матрицей вида $%B=e_{ij}-e_{ji}$% при $%i < j$%, так как линейной оболочкой таких матриц будет вся алгебра.

Произведение $%Ae_{ij}$% устроено так: столбец $%A$% с номером $%i$% переехал на $%j$%-е место в произведении матриц, а остальные столбцы нулевые. Соответственно, у $%A(e_{ij}-e_{ji})$% будут все столбцы нулевые кроме двух: бывшие $%i$%-й и $%j$%-й столбцы поменялись местами; у старого $%j$%-го столбца, который теперь на $%i$%-м месте, поменялся знак. Чтобы представить себе это нагляднее и не запутаться, можно рассмотреть пример матриц порядка 3 для случая $%i=1$%, $%j=2$%.

Аналогичное рассмотрение делаем для произведения $%(e_{ij}-e_{ji})A$%. Здесь останутся бывшие строки с номерами $%i$%, $%j$%, которые поменялись местами, и у строки, которая идёт ниже другой (бывшая $%i$%-я), сменился знак. Остальные строки -- нулевые. Приравнивая эти матрицы, получаем, что равны нулю все матричные элементы $%A$%, у которых один из индексов равен $%i$% или $%j$%, а другой индекс не равен ни одному из них.

Понятно, что при $%n > 2$%, для любого элемента $%a_{st}$% с условием $%s < t$% можно подобрать значения $%i < j$%, для которых один индекс останется, а другой сменится. Тогда $%a_{st}=0$%, то есть $%A$% нулевая.

При $%n=1$% у нас есть только матрица из одного нуля, а при $%n=2$% умножение в алгебре Ли будет нулевым, и центр совпадает со всей (одномерной) алгеброй.

ссылка

отвечен 10 Окт '17 23:33

Шикарно, спасибо большое!

(11 Окт '17 0:35) FrostABC
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,567

задан
10 Окт '17 18:45

показан
1051 раз

обновлен
11 Окт '17 0:35

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru