$%\int_{-1}^{1} \frac{dx}{1 + x^3 + \sqrt{1 + x^6}}$%

пытался сделать замену на $%1 + x^3 = t$%, но не выходит((

задан 10 Окт '17 20:37

10|600 символов нужно символов осталось
1

Если умножить и поделить на сопряжённый знаменатель, то получится $$ \int\limits_{-1}^{1} \frac{1+x^3 - \sqrt{1+x^6}}{2x^3}\;dx = \int\limits_{-1}^{1} \frac{1}{2}\;dx + \int\limits_{-1}^{1} \frac{1 - \sqrt{1+x^6}}{2x^3}\;dx $$ затем пишите, что второй интеграл будет нулевой, так как интегрируется нечётная функция (там конечно ещё про интегрируемость в нуле надо написать)...

ссылка

отвечен 10 Окт '17 21:02

@all_exist, спасибо, еще вот: в функции есть нечетная, то вся функция нечетная: т.е. из-за x^3 вся функция и стала нечетной?)(хочу убедить просто, что все так понял!)

(12 Окт '17 10:18) Романенко

@Романенко: есть же определение нечётной функции: f(-x)=-f(x). Это равенство в данном случае очевидно. Только не по причине того, что "в функции есть нечётная". Это выражение само по себе безграмотно (так никто никогда не говорит -- в функции что-то есть). Кроме того, в функции f(x)=x^3+1 "есть" x^3, но это не делает саму функцию нечётной.

(12 Окт '17 12:39) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
3

Заменим х=-у, тогда интеграл получит вид $%\int_{-1}^1\frac{dx}{1-x^3+\sqrt{1+x^6}}.$% Сложим исходный интеграл и этот, получим: $%\int_{-1}^1\frac{dx}{1+x^3+\sqrt{1+x^6}}=\int_{-1}^1\frac{(1+\sqrt{1+x^6})dx}{(1+\sqrt{1+x^6})^2-x^6}=1$%

ссылка

отвечен 10 Окт '17 21:03

@Амфибрахий, спасибо, а почему мы имеем право складывать эти интегралы?

Догадка: потому что y--- то функция от x ?

(12 Окт '17 10:15) Романенко

@Романенко: интеграл от суммы функций есть сумма интегралов.

(12 Окт '17 12:39) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,462
×1,410
×394

задан
10 Окт '17 20:37

показан
578 раз

обновлен
12 Окт '17 12:39

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru