alt text

задан 10 Окт '17 20:43

Этот факт доказывается сравнительно длинно, с применением теоремы Хана - Банаха. Посмотрите здесь довольно подробное изложение от автора под ником t.b.

(10 Окт '17 22:30) falcao

Оказывается, когда-то это на форуме уже спрашивали. См. здесь, с дополнительным примером того, что обратное неверно.

(10 Окт '17 22:33) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

От противного: Пусть пространство E несепарабельно. Тогда $%E^{∗}$% также несепарабельно. Допустим, что $%E^{∗}$% сепарабельно. Пусть $%\{ϕ_i\}$% — счётное всюду плотное семейство функционалов. Найдем семейство единичных векторов $% \{x_i \}$% таких, что $%ϕ_i(x_i) > 1/2 ||ϕ_i||$%. Пусть X- замыкание линейной оболочки $%\{x_i\}$% — замкнутое подпространство. $%X \neq E,$% иначе линейные комбинации векторов $%x_i$% с рациональными координатами были бы плотны в E, что противоречит несепарабельности E. Возьмём единичный вектор y такой, что $%d(y,X) > 0$% . По следствию теоремы Хана–Банаха найдётся функционал $%\tau$% такой, что $%\tau(y) = 1$% и $%\tau(X) = 0$%. Тогда, очевидно, $%||\tau − ϕ_i|| \ge |\tau(y) − ϕ_i(y)|$%, а кроме того,$%||\tau − ϕ_i|| \ge |\tau(x_i) − ϕ_i(x_i)|>1/2||ϕ_i||$%

Но по предположению о сепарабельности пространства найдётся последовательность функционалов $%ϕ_{i_k}$%, для которой $%||\tau − ϕ_{i_k}||\to 0 $% при $%k\to\infty$%. Значит, в силу написанных неравенств$%||ϕ_{i_k}||\to 0 $%, и тогда $%||\tau ||= 0 $%, что противоречит условию $%\tau(y) = 1$%.

ссылка

отвечен 10 Окт '17 21:49

изменен 10 Окт '17 21:52

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×438

задан
10 Окт '17 20:43

показан
394 раза

обновлен
10 Окт '17 22:33

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru