Помогите доказать следствие: https://prnt.sc/gvptoj

задан 10 Окт '17 21:15

@Романенко: сформулируйте, пожалуйста, вопрос в "удобоваримой" и понятной форме. В тексте написаны какие-то вещи, которые непонятно как связаны друг с другом. Критерий для подгрупп уже считается известным? Что из него надо вывести? Если то, что порядок каждого элемента группы конечен, то это в общем случае неверно.

Самый лучший формат вопроса -- это "дано ..."; "доказать ...".

(10 Окт '17 21:21) falcao

постараюсь структурировать это.Перед этой задачей у меня кажется было что-то похожее: нужно было применить факторизацию(чтобы ослабить условие |G|< "бесконечность" ) и что-то было такое:

(10 Окт '17 21:35) Романенко

@Романенко: я не любитель разгадывать ребусы и криптограммы. Если хотите услышать решение задачи, то сформулируйте её точное условие. Я уже сказал, что должно быть нечто в виде "дано -- доказать". У Вас по ссылке этого нет, и догадаться тоже невозможно.

(10 Окт '17 21:47) falcao

@falcao, ясно, простите, просто спешил и думал, что там есть информация та самая, т.к. я просто пока что не ориентируюсь(((

(10 Окт '17 22:06) Романенко

но точно знаю что с помощью факторизации, как-то ослабляется условие конечности группы!

Просто не ясно что такое факторизация и зачем с помощью ее мы меняем |G|< "бесконечность" на "для всякого g из G (ord(g)) < "бесконечность"

(10 Окт '17 22:07) Романенко

@Романенко: вот как раз последнее замечание меня и сбивает с толку, так как я там не вижу никакой факторизации. Где там факторгруппа? Но у меня есть предположение насчёт того, какие две задачи там вроде бы рассматриваются. Попробую сейчас изложить, если я правильно понял постановку вопросов.

(10 Окт '17 22:13) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
1

Задача 1. Дана конечная группа G. Доказать, что любой её элемент g имеет конечный порядок.

Решение. Задача относится к числу самых элементарных, поэтому будем применять самые простые средства. Рассмотрим степени элемента g с натуральными показателями: g, g^2, ... , g^n, ... . Натуральных чисел бесконечно много, а группа конечна. Следовательно, среди членов указанной последовательности происходят совпадения. Это значит, что найдутся такие k < m, для которых g^m=g^k. В частности, g^{m-k}=e, где m-k -- натуральное число. Уже отсюда следует, что порядок элемента g конечен. (По определению, ord g есть наименьшее натуральное число n со свойством g^n=e.)

Задача 2. Указать пример бесконечной группы G, у которой порядки всех элементов конечны.

Решение. Рассмотрим бесконечное прямое произведение циклических групп порядка 2, то есть Z2 x Z2 x ... x Z2 x ... (относительно умножения). Оно бесконечно, но любой элемент этой группы в квадрате равен единице, так как элементы прямого произведения умножаются покомпонентно.

ссылка

отвечен 10 Окт '17 22:20

@falcao, спасиибо, а какая например может быть группа с таким свойством, как в первой задаче?

(10 Окт '17 22:30) Романенко

1.разные показатели элемента в группе--- это тоже самое как перечисление(последовательности) элементов группы?

2.Пример(группа планет солнечной системы)

3). Я же из них могу образовать группу(т.к. я же могу придумать какую-нибудь для них абстрактную операцию со свойствами группы?): g^1 -- Марс, g^2-- Юпитер,......g^n--- снова Марс ?

(10 Окт '17 22:34) Романенко

@Романенко: там же в условии сказано, что рассматривается конечная группа. Простейшие примеры групп такого вида -- циклические. Например, группа поворотов правильного n-угольника. Или группа подстановок на множестве из n элементов. Конечных групп слишком много, но я указал те примеры, которые надо знать в первую очередь.

(10 Окт '17 22:39) falcao

@falcao, спасибо(уже что-то в голове проясняется у меня))),

(10 Окт '17 22:44) Романенко

@Романенко: если берутся элементы g, g^2, ... , то это просто степени элемента g, не более того. Их список может не исчерпывать всех элементов группы. Если группа является конечной циклической, то все её элементы войдут в этот список, но это побочный факт для данного упражнения.

Задать структуру группы можно на любом множестве, поэтому нет необходимости брать совсем уж "экзотику". Достаточно взять, скажем, числа {0,1,...,n-1} и складывать их по модулю n. Такой пример у Вас уже где-то упоминался. С каждым из этих элементов можно связать любое слово, но никакого нового смысла тут не будет.

(10 Окт '17 22:45) falcao

@falcao, спасибо,

  1. А длина цикла-- это к примеру количество поворотов, который n-угольник может делать вокруг оси до тождественного(изначального) положения ?

  2. А можно какой--нибудь пример сопряженного элемента в группе?(я только знаю, что там выполняются правила эквивалентности: транзит, рефлекс., симметрич.)

(10 Окт '17 23:02) Романенко

@Романенко: длина цикла -- это количество символов в его записи. Скажем, длина цикла (abcde) равна 5. Конечно, если пронумеровать вершины n-угольника и повернуть его на один сектор, то получится подстановка вершин (12...n) в виде цикла длиной n.

О сопряжённости можно сказать много чего. Элементы вида xy и yx не всегда равны, но они между собой обычно "похожи". Если это преобразования, то они делают "то же самое" в разных системах координат. Типа, поворот на угол ф сопряжён повороту на угол -ф в группе преобразований плоскости. А в группе подстановок элемент (123)(45) сопряжён (243)(51).

(10 Окт '17 23:03) falcao

@falcao, спасибо(многие вещи уже начинают пониматься))),

  1. А как проверить сопряженность например в этой группе подстановок: (123)(45) и (243)(51) ?

  2. Т.е. нужно проверить на транзитивность, рефлексивность и симметричность?

  3. А в алгебре многое проверяется на свойства эквивалентности(просто я перечитываю конспект и уже не в первый раз вижу проверку с помощью этого свойства )?( или я наверное ошибаюсь скорее всего)

(10 Окт '17 23:11) Романенко

@Романенко: отношение сопряжённости элементов в любой группе является отношением эквивалентности. То есть оно обладает всеми тремя свойствами Р-С-Т. Это уже было проверено, и второй раз проверять эти свойства совершенно не нужно.

Сопряжённость подстановок, которые я указал, следует из общего правила, которое отдельно доказывается (но не в двух словах).

Про пункт 3 Вам полезнее временно забыть. У Вас получилось какое-то упражнение, и теперь Вы его пытаетесь применить где попало. Проверять что-либо на свойства эквивалентности нужно только тогда, когда в условии задачи об этом явно сказано.

(10 Окт '17 23:47) falcao
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,519
×1,399
×1,019

задан
10 Окт '17 21:15

показан
332 раза

обновлен
10 Окт '17 23:47

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru