Почему централизатор равен циклической группе?

как это можно понять?

условие: https://prnt.sc/gvpyj4

задан 10 Окт '17 21:25

10|600 символов нужно символов осталось
1

Тут надо то самое правило сопряжения подстановок использовать, о котором шла речь в одной из задач.

Поскольку специфика символов не важна, можно говорить о цикле x=(12...n) в симметрической группе S_n. При сопряжении подстановкой g данный цикл переходит в цикл такой же длины, согласно правилу, то есть в (g(1)g(2)...g(n)). Если g принадлежит централизатору x, то должен получиться тот же самый цикл, то есть (12...n)=(g(1)...g(n)). Пусть g(1)=k+1. Тогда за ним в записи цикла идут k+2, ... , n, 1, ... ,k. Тогда g=x^k, что легко проверяется возведением цикла x в k-ю степень.

Из сказанного следует, что централизатор цикла x совпадает с множеством всех степеней x, то есть с циклической подгруппой данного элемента.

Есть другой способ доказательства: централизатор всегда содержит циклическую подгруппу элемента, поэтому его порядок не меньше n. Значит, его индекс не больше n!:n=(n-1)!. Известно, что индекс централизатора равен числу элементов класса сопряжённых элементов, который состоит из всех циклов длиной n. Их имеется в точности (n-1)!, поэтому централизатор имеет именно n элементов, а не больше.

ссылка

отвечен 11 Окт '17 3:53

@falcao, спасибо, я еще пытаюсь это все обмозговать!

Еще хотел спросить:

  1. Централизатор--- это подгруппа Z(x) группы G получается?

  2. И это определение показывает, что любой элемент(включая обратные) подгруппы Z(x) коммутирующий с группой G просто по определению является его центром?

(15 Окт '17 13:13) Романенко
1

@Романенко: да, централизатор элемента является подгруппой, что проверяется по критерию.

Во второй фразе получилось какое-то нагромождение слов. Видимо, Вы имели в виду, что если элемент группы принадлежит сразу всем централизаторам вида Z(x), то он коммутирует с каждым x, то есть принадлежит центру группы. Это действительно так.

(15 Окт '17 13:49) falcao

@falcao, спасибо,

  1. И эту всю информацию, о которой вы только что сказали говорит определение? (просто я именно с "трудом" это все узнал: пришлось доказывать два примера, т.е. подставлял в определение какое-то условие и выводил: $%gx^{-1} = x^{-1}g$% --- это нужно было доказать ).

  2. Я как-то не думал больше чем об одном централизаторе группы, а можно какой-нибудь пример хотя бы двух централизаторов в группе с элементом, который есть центр и который им не является!???

(15 Окт '17 15:22) Романенко
1

@Романенко: я не знаю, какое именно упражнение Вы решали. Могу только догадываться. Возможно, речь шла о проверке того, что централизатор элемента -- это подгруппа.

Центр -- это не один элемент, а множество всех элементов, каждый из которых перестановочен со всеми элементами. Можно рассмотреть пример группы S3, взяв элементы a=(123) и b=(12). Цетрализатор a равен циклической подгруппе элемента a, то есть {e,(123),(132)}. Централизатор b равен {e,(12)}. А центр всей группы тривиален, то есть равен {e}.

(15 Окт '17 17:20) falcao

@falcao, спасибо,

1.Вот я как раз не могу придумать такой пример, к сожалению. А Вы не могли бы, пожалуйста, такой вот простой придумать, чтобы можно было проверить по определению?!!

2.А имеет разница в порядке расположения элементов: e,(123),(132) в централизаторе ? и в циклической подгруппе?

3.Группа S3 в частном случае--- это группа правильного треугольника?

4.А так в S3 вообще всего 3!=6 элементов?

(15 Окт '17 18:11) Романенко

почему $%S_n$% -- это группа перестановок, а $%SO_n$% -- это уже матрицы ? по какой логике добавляется буква?

(24 Окт '17 1:13) Романенко
1

S_n = symmetric group of order n; SO_n = special orthogonal group of order n

(24 Окт '17 1:21) Slater

@Slater, спасибо, а вчем заключается симметрия???

(24 Окт '17 1:39) Романенко
1

Насколько мне известно, термин "симметрия" в широком смысле означает любую биекцию из множества в себя. S_n как раз состоит из биекций n-элементного множества в себя.

Можно еще почитать тут https://math.stackexchange.com/questions/46317/what-kind-of-symmetry-is-the-symmetric-group-about

(24 Окт '17 1:43) Slater

@Slater, спасибо, а можно пример простой и не такой уж простой любой биекции из множества в себя??

(24 Окт '17 2:09) Романенко

А что такое "простая и не такая уж простая любая биекция"? Примеров биекций очень много. Насчет "простых и не таких уж простых" не знаю :)

Любая перестановка на множестве {1,2,...n} - по определению биекция. Отображение Z -> Z, которое переводит n в -n - биекция.

(24 Окт '17 2:40) Slater
1

@Романенко: мы с Вами давеча говорили о подстановках. Помните? Любая подстановка -- это биекция множества в себя. Пишете две строки: в первой числа от 1 до n идут по порядку. Под ними -- эти же числа в каком-то случайном порядке. Такую вещь может написать любой дошкольник. Скажем, пусть n=5. Напишем

1 2 3 4 5

2 4 3 5 1

Это биекция множества {1,2,3,4,5}. Понятно, что и куда при ней переходит. Также нетрудно представить себе, как устроены все такие биекции. Их столько, сколько перестановок.

(24 Окт '17 2:53) falcao

@falcao, спасибо, все понял!)

К тому же цикловая запись будет: (1245)(3)

(27 Окт '17 21:06) Романенко

@Романенко: да, только (3) можно опускать в записи, как я уже говорил. Это тождественная подстановка.

(27 Окт '17 21:52) falcao
показано 5 из 14 показать еще 9
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,519
×1,399
×1,019

задан
10 Окт '17 21:25

показан
415 раз

обновлен
27 Окт '17 21:52

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru