!)Пусть В замкнутая подгруппа А= {z∈C:|z|=1}. Надо показать что либо В=А либо В= {e^(2πik/n): 0<=k<=n-1},n∈N. 2) И если ψ ∈ R\Q то множество {e^(2πinψ) : n∈Z } плотно в А. С чего начать? У меня доказано что если D аддитивная подгруппа R, то либо D = R, либо D = a*Z, a ∈ R. (как то вертится это использовать не могу ухватить как, это решение могу отсканировать и вывесить). Буду благодарна за любую подсказку.

По 2)-му: надо ли доказывать что при иррациональной ψ, точка будет вертеться по окружности и не будет попадать в себя при различных n, и таким образом зарисует всю окружность при n стремиться к бесконечности? или это и так ясно?

задан 11 Окт '17 2:15

изменен 13 Окт '17 18:14

Так хочется узнать, что такое "закрытое подмножество", что кушать не могу! Его полиция за правонарушения закрыла в "крытую"?

(11 Окт '17 10:22) Амфибрахий

Да, замкнутое множество. А "закрыть в "крытую"" - это to imprison.

(11 Окт '17 13:53) Амфибрахий

Спасибо :) я кажется решила сама... вот если бы найти кому то показать!!!

(11 Окт '17 14:45) Gedonist

@Gedonist: в топологическом контексте слово closed (без лишней буквы) всегда переводится как "замкнутое".

Первое упражнение понятно, а вот второе предложение не договорено до конца. Оно имеет примерно такую форму: "если x, y -- положительные числа, то x+y". В конце пропущено слово "положительно". Я думаю, там имелось в виду, что множество обладает каким-то свойством -- типа, всюду плотно на окружности.

Свои решения в целях проверки можно сюда же и выкладывать -- в виде текста или в виде ссылок.

(11 Окт '17 14:59) falcao

Да конечно, спасибо, извините просто печатала уже ночью.

(11 Окт '17 22:04) Gedonist
10|600 символов нужно символов осталось
0

Это лёгкая по смыслу задача, и проще всего объяснить на геометрическом языке. У нас есть группа поворотов окружности. Каждый поворот задаётся углом; это точка на окружности. Если повороты образуют группу, то картинка на окружности "однородна": если её повернуть на угол так, что одна точка перейдёт в другую, то все остальные точки также перейдут друг в друга. Это следует из базовых свойств группы.

Пусть теперь подгруппа конечна. Из сказанного следует, что промежутки между соседними точками одинаковые, и среди точек есть комплексное число 1 как нейтральный элемент группы. Тогда это будет группа комплексных корней степени n из 1, и они расположены в вершинах правильного n-угольника. Это в точности то, что в условии обозначено через B.

Пусть группа бесконечна. Тогда точек на окружности бесконечно много. Отсюда вытекает, что множество всюду плотно. Формальное доказательство: предположим, что это не так. Тогда имеется интервал (дуга) положительной длины, на которой нет точек множества. Рассмотрим максимальный такой интервал, на котором нет точек множества. Тогда его концы a, b принадлежат группе. Из геометрического свойства "однородности" ясно, что следующая дуга той же длины снова не имеет внутренних точек, и так далее. Откладывая такие дуги в одном из направлений, мы рано или поздно "замкнём" картинку, и группа окажется конечной -- той, которая была описана в самом начале.

Таким образом, бесконечные подгруппы всюду плотны. Если такая подгруппа замкнута, то она совпадает со своим замыканием, а у всюду плотного множества это будет вся группа A.

ссылка

отвечен 11 Окт '17 23:06

@Gedonist: конечно, можно выложить решение и обсудить. Форум для этого в первую очередь и предназначен.

Что касается "лайков", то Вы можете принять решение, если оно Вас устраивает. Для этого есть "галочка" около ответа.

(11 Окт '17 23:29) falcao

Еще раз огромное спасибо!!!

(13 Окт '17 19:13) Gedonist
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,397
×414

задан
11 Окт '17 2:15

показан
492 раза

обновлен
13 Окт '17 19:13

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru