Многообразием Грассмана (вещественным) называется множество всех k-мерных подпространств n-мерного пространства.

link text

задан 12 Окт '17 19:59

10|600 символов нужно символов осталось
0

Если перевести формальное объяснение по ссылке на понятый язык, то получится примерно следующее. Пусть M -- матрица kx(n-k). Припишем к ней слева единичную. Далее, для каждого k-элементного подмножества J множества {1,2,...,n} применим перестановку столбцов. На места из J поставим все столбцы единичной матрицы в порядке следования, а на остальные места -- столбцы матрицы M.

Мы получаем теперь матрицу ранга k, линейная оболочка строк которой есть некоторое k-мерное подпространство в R^n. Это то, что было обозначено через psi_J(M).

При фиксированном J это отображение будет инъективно, потому что по подпространству можно однозначно восстановить матрицу M. Зная подпространство, выбираем в нём произвольный базис, записываем его в матрицу kxn. Для удобства применяем перестановку столбцов, чтобы все столбцы с номерами из J шли в начале. Их k штук, и они дают невырожденную матрицу. Приводим её к единичной гауссовыми преобразованиями. То, что останется в других столбцах -- это матрица M.

Условие задачи 1 фактически утверждает невырожденность выделенной подматрицы. Это следует из того, что произвольный базис получается из строк матрицы kxn при помощи серии невырожденных преобразований.

А вообще-то такие задачи не производят впечатления -- там содержание практически нулевое, и если бы всё с самого начала объяснялось на простом языке, то оказалось бы, что доказывать там и нечего :)

ссылка

отвечен 13 Окт '17 1:26

Понятно,а как тогда доказать следующие утв: 1) обратное отображение к psi , обозначим его phi, как доказать что совокупность (U_i,phi) задаёт атлас, т.е задаёт структуру гладкого многообразия. И 2) как доказать что это многообразие связно и Gr(k,n) диффеоморфно Gr(k,n-k)

(13 Окт '17 16:44) Wannaknoweve...

@Wannaknoweve...: проверка того, что получается атлас -- скорее всего, вещь не слишком сложная на уровне идеи, но вряд ли коротко описываемая. Там надо вводить кучу обозначений, рассматривая пересечения карт. Скорее всего, в учебнике это заняло бы несколько страниц. Второй пункт также требует каких-то усилий, причём утверждение о связности реально интересное. Диффеоморфность Gr(k,n) и Gr(n-k,n) должна легко следовать из перехода от J к дополнению (во втором случае индексы именно такие).

(13 Окт '17 23:25) falcao

Т.е во втором случае диффеоморфность следует из того, что мы сопоставляем k-мерному подпространству его ортогональное дополнение, т.е переводим один базис в другой с помощью матрицы перехода, но почему это отображение гладкое?

(14 Окт '17 0:52) Wannaknoweve...

@Wannaknoweve...: для этого отображения получаются какие-то формулы. Чтобы их выписать, нужно ввести все обозначения. Это требует каких-то усилий. Но в итоге получатся некие элементарные функции. Они все гладкие, из общих соображений.

По-моему, лучше взять подходящее учебное пособие. Если всё это делать в деталях, то получается достаточно нетривиально. См., например, у Хатчера здесь, стр. 28 и далее.

(14 Окт '17 13:11) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×157
×11

задан
12 Окт '17 19:59

показан
199 раз

обновлен
14 Окт '17 13:11

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru