Совсем не знаю, как решать подобные дифференциальные уравнения, знаю лишь те, где нужно составлять характеристическое уравнение. Прошу помочь в решении следующих примеров:

  1. $%y' - x{y^2} = 0,$% тут мне кажется нужно выразить переменную $%x$% и затем проинтегрировать обе части по $%dx$%?
  2. $%\begin{gathered} 2\sqrt y dx - dy = 0,y(0) = 1; \hfill \\ {y^2} + {x^2}y' = xyy',y(1) = 1; \hfill \\ \left( {x + x{y^2}} \right)dx + \left( {{x^2}y - y} \right)dy = 0,y(0) = 1, \hfill \\ \end{gathered}$% здесь, к сожалению, мне ничего не понятно.
  3. $%y' + y\cos x = \sin 2x,$% в данном примере мне кажется должны быть замены или подстановки, но какие?
  4. $%xy' - y - {x^3} = 0,y(2) = 4,$% это нужно решать, как линейное и тоже делать замену?
  5. $%y' - 2xy = {e^{{x^2}}},$% тут тоже ничего не поняла.

Прошу помочь в решении, можно просто дать советы, но буду очень благодарна и за решения. Я честно пыталась их решить сама, но из всех заданных примеров я справилась только с теми, где нужно составлять характеристическое уравнение.

Решение №4.

$%\begin{gathered} xy' + y - {x^3} = 0,y(2) = 4; \hfill \\ y' - \frac{y}{x} - {x^2} = 0;\frac{y}{x} = z \Rightarrow y' = {\left( {x \cdot z} \right)^\prime } = z'x + z; \hfill \\ z'x + z - z - {x^2} = 0; \hfill \\ \frac{{dz}}{{dx}}x = {x^2}; \hfill \\ z = \frac{{{x^2}}}{2} + const; \hfill \\ \frac{y}{x} = \frac{{{x^2}}}{2} + const; \hfill \\ \frac{4}{2} = \frac{4}{2} + const \Rightarrow const = 0; \hfill \\ y = \frac{{{x^3}}}{2}. \hfill \\ \end{gathered}$%

задан 14 Окт '17 14:10

изменен 15 Окт '17 13:59

Не уверен, что такой набор задач кто-то будет решать. В стандартных д.у. 1-ого порядка нужно уметь определять тип, а дальше схема решения совершенно стандартна и описана в любой книге. Типы определить помочь могу: 1 и 2б - с разделяющимися переменными. 2а - однородное, заменой $%y = zx$% приводится к уравнению с разделяющимися переменными, 3-5 - линейные неоднородные уравнения первого порядка

(14 Окт '17 14:22) no_exception

Я пропустил первый пункт из 2 (непонятно, зачем два совсем разных уравнения под одним номером). Там надо разделить на x^2 и сделать замену z=y/x. При этом y'=(xz)'=z'+xz, и решаем относительно z.

(14 Окт '17 14:43) falcao

@falcao,разве будет не так $%y' = {\left( {x \cdot z} \right)^\prime } = z'x + z$%?

(15 Окт '17 12:06) Даша0402

@Даша0402: разумеется, именно так и будет -- это я опечатался.

(15 Окт '17 12:56) falcao

@falcao, можно ль, вот так решить? $%\begin{gathered} {y^2} + {x^2}y' = xyy',y(1) = 1; \hfill \ \frac{{{y^2}}}{{{x^2}}} + y' = \frac{y}{x}y';\frac{y}{x} = z \Rightarrow y' = {\left( {x \cdot z} \right)^\prime } = z'x + z; \hfill \ z'x(1 - z) = - z; \hfill \ \frac{{dz}}{{dx}}x = - \frac{z}{{1 - z}} = \frac{z}{{z - 1}}; \hfill \ \int {\frac{{dx}}{x}} = \int {dz} - \int {\frac{{dz}}{z}} ; \hfill \ \ln (x \cdot z) = \frac{y}{x} + const; \hfill \ \ln y = \frac{y}{x} + const; \hfill \ \ln 1 = 1 + const \Rightarrow const = - 1. \hfill \ \end{gathered}$%

(15 Окт '17 12:57) Даша0402

@Даша0402: очень неудобно прослеживать такие длинные строки в комментариях! Лучше дописывать это дело к тексту вопроса.

Там опечатка в одном из интегралов: должно быть dz/z. Остальное правильно. Ответ можно записать в виде зависимости x от y, хотя это и не обязательно.

(15 Окт '17 13:09) falcao

@falcao, большое спасибо. Решение №4 добавила снизу в вопрос. Можно ль решать так, это не совсем так, как говорили Вы, но мне так показалось легче. Мне осталось решить №3 и №5, по ним ни чего не получается, ни чего не пойму.

(15 Окт '17 13:25) Даша0402

@Даша0402: решение номера 4 верное, но есть несколько опечаток. В самом начале y не должно быть в квадрате. В конце при нахождении константы должно быть 4/2=2^2/2+C (пропущен квадрат у двойки).

Номера 3 и 5 решаются по стандартной схеме из учебника. Надо прочитать соответствующие главы про метод вариации постоянной. Если пробовали решать по схеме, и не получается, то покажите, к чему пришли.

(15 Окт '17 13:53) falcao

@falcao, большое спасибо. Со всеми примерами разобралась.

(15 Окт '17 18:00) Даша0402
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
0

1) Нужно для начала вспомнить по самый простой тип уравнений -- с разделяющимися переменными. Тогда первое принимает вид $%dy/dx=xy^2$%. Разделяем переменные: $%dy/y^2=xdx$%. Поскольку делили на $%y^2$%, отмечаем особое решение $%y=0$%, которое подходит, но начальным условиям оно не удовлетворяет. Интегрируем: $%-1/y=x^2/2+C$%. Учитываем начальное условие $%x=0$%, $%y=1$%, откуда $%C=-1$%. Получается $%y=1/(1-x^2/2)$%.

2) Уравнение $%Pdx+Qdy=0$%, где $%P=x+xy^2$%, $%Q=x^2y-y$%, обладает свойством $%P_y=Q_x$%. Это уравнение в полных дифференциалах. Ищем $%F(x,y)$% такое, что $%F_x=P$%, $%F_y=Q$%. Интегрируем первое уравнение по $%x$%, откуда $%F=\frac{x^2}2(1+y^2)+\phi(y)$%. Для второго аналогично имеем $%F=\frac{y^2}2(x^2-1)+\psi(x)$%. Приравниваем, сокращаем, и получается $%\frac{x^2}2+\phi(y)=-\frac{y^2}2+\psi(x)$%. Это значит, что $%\psi(x)-\frac{x^2}2=\phi(y)+\frac{y^2}2=C$%. Из этого имеем общий интеграл уравнения в виде $%(x^2-1)(y^2+1)=C$%, где $%C$% -- новая константа.

3) Сначала решаем однородное уравнение $%y'+y\cos x=0$% с разделяющимися переменными. Получится $%y=Ce^{-\sin x}$%. Далее применяем метод вариации постоянной, полагая $%C=C(x)$% и подставляя в исходное (неоднородное) уравнение. Все эти схемы описаны в самых распространённых учебниках.

Уравнения 4) и 5) решаются по такой же схеме. Это линейные неоднородные уравнения первого порядка с переменными коэффициентами.

ссылка

отвечен 14 Окт '17 14:41

@falcao, что за начальное условие в первом номере? А так кроме этого начального условия все понятно. А можно ли первый номер во втором пункте решить вот так: $%\begin{gathered} 2\sqrt y dx - dy = 0; \hfill \ \int {\frac{{\frac{{dy}}{{dx}}}}{{\sqrt y }}dx} = \int {2dx} ; \hfill \ 2\sqrt y = 2x + const; \hfill \ y = \frac{{{{(2x + const)}^2}}}{4}. \hfill \ \end{gathered} $%?

Над остальными примерами еще думаю, не все поняла. Буду рада за подробнейшее решение.

(14 Окт '17 23:20) Даша0402

@Даша0402: помимо самого уравнения, там есть условие типа y(0)=1. Оно и называется начальным условием.

Писать под знаком интеграла такие выражения как у Вас, не принято. надо делать всё как положено: разделить переменные в виде dy/(2sqrt(y))=dx, и потом написать равенство двух интегралов. Ответ приметь более простой вид sqrt(y)=x+C, то есть y=(x+C)^2.

Вообще, с теорией нужно хотя бы в минимальном объёме ознакомиться по учебникам или методическим пособиям.

(14 Окт '17 23:42) falcao

@falcao, на сколько я Вас сейчас поняла, но в первом примере ведь нет начального условия?

(14 Окт '17 23:55) Даша0402

@Даша0402: условие было так записано (там много пунктов, сбита нумерация и прочее), что я y(0)=1 отнёс к самому первому уравнению, а не к следующему. Тогда ответ надо писать в общем виде, с константой C.

(15 Окт '17 0:01) falcao

@falcao, можно ль, решать пример так? И что потом делать с нач. условием? $%\begin{gathered} \left( {x + x{y^2}} \right)dx + \left( {{x^2}y - y} \right)dy = 0,y(0) = 1; \hfill \ \left( {1 + {y^2}} \right)xdx + \left( {{x^2} - 1} \right)ydy = 0; \hfill \ \int {\frac{{xdx}}{{1 - {x^2}}}} = \int {\frac{{ydy}}{{1 + {y^2}}}} ; \hfill \ u = 1 - {x^2},du = - 2xdx,s = 1 + {y^2},ds = 2ydy; \hfill \ - \frac{1}{2}\int {\frac{1}{u}} du = \frac{1}{2}\int {\frac{1}{s}} ds; \hfill \ - \ln (u) - \ln (s) = 0; \hfill \ - \ln (1 - {x^2}) - \ln (1 + {y^2}) = 0. \hfill \ \end{gathered}$%

(15 Окт '17 0:40) Даша0402

@Даша0402: в принципе, можно. Только там в конце надо константу учитывать. В итоге должно получиться (1-x^2)(1+y^2)=C, то есть такой же ответ как был у меня. Начальное условие учитывается как обычно: должны подойти числа x=0, y=1, которые надо подставить и найти C. Окажется, что C=2, и окончательный ответ записывается с такой константой.

(15 Окт '17 1:38) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×873

задан
14 Окт '17 14:10

показан
285 раз

обновлен
15 Окт '17 18:00

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru