|
15 февраля в 21.40 мною был задан вопрос: «Каких треугольников больше?». Ответ @falcao гласил: тупоугольных – 52,07%, а остроугольных – соответственно 47,93%. А если перефразировать вопрос? Пусть всех вещественных треугольников будет 100%. Но на том же отрезке a можно выбрать бесчисленное множество отрезков $$a_1$$ и $$a_2$$, сумма которых меньше $$a$$. Из каждой тройки этих отрезков можно составить мнимый треугольник. Так вот! Мнимых треугольников будет 100%, или меньше 100%, или больше 100%? Напрашивается ответ: 100%. Но так ли это в действительности? задан 21 Фев '13 19:52 
nikolaykruzh... |
|
Я понимаю мнимые треугольники, как псевдофигуру с нарушением неравенства треугольника. То есть под мнимым треугольником, скорее всего, имеется в виду фигура со сторонами $%a_1,a_2,a$%, такая что $%a_1 + a_2 < a || a_1+a < a_2 || a_2+a< a_1$%. Если это действительно то, что имелось в виду и при выборе конечного отрезка $%[\alpha,\beta]$% для вышеуказанных коэффициентов, то далее можно воспользоваться геометрическим определением вероятности: поделить меру области, которая удовлетворяет вышеописанным неравенствам на меру отрезка, среди которого берутся коэффициенты $%a_i$% отвечен 22 Фев '13 7:37 
MathTrbl Если выбираются три числа из отрезка $%[0,1]$% при равномерном распределении, то вероятность того, что можно составить треугольник с выбранными длинами сторон, равна $%1/2$%. Это хорошо известная задача, и я о ней упоминал в разговоре об остроугольных и тупоугольных треугольниках. Я так понимаю, что у Вас запятая между неравенствами понимается как "или" -- в противном случае все неравенства можно сложить и получить, что удвоенная сумма меньше суммы.
(22 Фев '13 7:47)
falcao
Да, конечно, или. На всякий случай исправил, чтобы не было недоразумений.
(22 Фев '13 8:01)
MathTrbl
В такой версии задача решается довольно легко. Её можно поставить, например, так: зафиксируем наибольшую сторону, принимая её за $%1$%, а две другие стороны $%x$%, $%y$% выберем случайно при равномерном бросании. Тогда можно рассмотреть единичный квадрат, который диагональ делит на две части площади $%1/2$%. Уравнение диагонали имеет вид $%x+y=1$%, а части соответствуют случаям $%x+y<1$%, когда из длин $%x$%, $%y$%, $%1$% можно составить треугольник, и $%x+y>1$%, когда треугольник составить нельзя. То есть вероятности равны $%1/2$%. Если равномерно выбирать все три стороны, ответ будет тот же.
(22 Фев '13 8:42)
falcao
Ну вот, это тот ответ, который я и предполагал получить: 100% по отношению ко всем действительным треугольникам. Итак: если на данном единичном отрезке выбрать всевозможные двойки чисел (отрезков), то треугольников и "лампасин" будет одна и та же процентная величина по отношению друг к другу. Симметрия своего рода!.. @falcao. Я затрудняюсь, кому кликнуть ответ. @MathTrbl подал идею (но у него слишком много ограничений на числа), Вы довели её до решения, а что должен делать я? Правильным считается только один ответ. Пока я в растерянности.
(22 Фев '13 10:33)
nikolaykruzh...
Что должны делать Вы -- это вопрос явно не ко мне :) Ответы могут быть разными для разных формализаций задачи -- это вроде как уже выяснили. Я надеюсь, Вы ознакомились со ссылкой на парадокс Бертрана, которую я приводил.
(22 Фев '13 14:25)
falcao
Я не нашёл поля для комментария, чтобы сообщить Вам о знакомстве с парадоксами Бертрана. Да, с первым и последним я согласен, но со средним - у меня возникли возражения: если радиус продолжить до пересечения с окружностью (т. е. рассматривать диаметр), то полная площадь не равна той, которая рассматривается в задаче, и результат будет существенно отличаться от предложенного. Хотя в принципе я согласен с неоднозначностью решения таких задач. Вы знаете, вероятностные задачи все такие, поэтому я как-то не воспринимал теорию вероятности, как серьёзную науку. Это мой недостаток.
(22 Фев '13 19:20)
nikolaykruzh...
Неоднозначность вовсе не мешает рассматривать разные "формализации" задачи. Пока я, правда, не понимаю, какая ещё версия может быть рассмотрена. Если делать так, как это было для остроугольных и тупоугольных треугольников, то там длинная сторона была фиксированная, и далее выбиралась третья точка в пределах некоторой области, что уже задавало вполне "реальный" треугольник. Как надо выбирать точки, чтобы треугольника могло не возникнуть -- это вопрос, который требует уточнения.
(22 Фев '13 19:26)
falcao
В рассматриваемом случае одной выбранной точки мало - надо брать на наибольшем отрезке две различных точки, так что только сумма трёх отрезков, из которых длина одного равна расстоянию между двумя выбранными точками и не равна нулю, равна исходному наибольшему отрезку. Правда, я не представляю, как это можно увязать с формализацией задачи или хотя бы с каким-то вариантом её. У Вас фантазия неистощимее моей, а практические навыки работы с математическим материалом неизмеримо богаче. Наверно, что-то получится, если Вам интересна сама суть вопроса.
(22 Фев '13 20:30)
nikolaykruzh...
показано 5 из 8
показать еще 3
|
|
Хочу сделать уточнение: я давал ответ не на вопрос "каких треугольников больше?", а на одно из возможных его толкований. Это существенно, так как в "вольной" постановке вопрос не имеет смысла: и тех, и других треугольников -- бесконечно много. Что такое "мнимый треугольник", я не понимаю. Это понятие не является общепринятым (в отличии, скажем, от понятия остроугольного треугольника), а потому следует сопровождать его определением. отвечен 22 Фев '13 3:02 
falcao Мнимый = не существующий в реальности, как мнимое число. Если у Вас есть предложение, давайте назовём по-другому.@chameleon назвал их "лампасины". Хотите, назовём так? Лишь бы это понятие как-то вошло в обиход: тройка отрезков, из которых невозможно построить треугольник. Более полный ответ по этому вопросу - см. мой комментарий @chameleon. С уточнением в начале Вашего комментария я, конечно, согласен. Мне почему-то казалось, что Вашим способом нетрудно было бы ответить и на заданный вопрос. Но я, признаюсь, слабоват в тройных интегралах.
(22 Фев '13 10:12)
nikolaykruzh...
Называть эти объекты можно каким угодно словом, но если понятие новое, то надо вводить определение. Это общеметодологическое требование, от которого никто не свободен. Часто бывает так, что в решении каких-то олимпиадных задач звучит фраза типа: "назовём число "хорошим", если ...". В качестве "временного" понятия, вводимого в целях краткости, это допустимо. В случае с "мнимыми треугольниками" проблема ещё и в том, что догадаться не так легко. Это понятие похоже на "мнимый эллипс". Такой термин используется в аналитической геометрии при классификации кривых, но в другом значении.
(22 Фев '13 14:23)
falcao
Повторюсь.Тройки всевозможных отрезков делятся на два подмножества: на те, из которых можно построить треугольники, и на те, из которых - нельзя. Эти последние я временно назвал "мнимыми треугольниками", объединяя всё множество троек отрезков одним понятием "треугольник". Насколько удачно это название, судить не берусь. Конечно, "мнимый треугольник" - довольно произвольное название по сравнению с "мнимым эллипсом", но с любым, более удачным определением я соглашусь без проволочек. По крайней мере, ниша, которая до сих пор ещё свободна от вмешательства человеческой логики, будет заполнена.
(23 Фев '13 10:32)
nikolaykruzh...
Я здесь считаю наиболее принципиальным не то, насколько удачным является от или иной термин, а то, что любое такое понятие нужно определять. Здесь уже справедливо отмечалось, что из текста никак не вытекало, что подразумевается под "мнимым треугольником". А это оказалась всего лишь тройка чисел, для которых не существует треугольника с заданными длинами. Тогда так и надо было говорить с самого начала. Важно здесь то, чтобы не ставить читателя перед проблемой о чём-то догадываться.
(23 Фев '13 11:13)
falcao
К сожалению, это мой постоянный и существенный, хотя и не единственный, недостаток: думать, что другим, само собою разумеется, понятно, что я имею в виду, высказывая какое-то своё суждение. Я сталкивался с этим многажды, но ... привычка - вторая натура. Видимо, это оттого, что я не умею поставить себя на место другого. Но - это уже не математика... Кстати: с праздником, если Вы хоть как-то, хоть Памятью душевно связаны с Армией
(23 Фев '13 11:56)
nikolaykruzh...
|
Вы что, издеваетесь? Что такое мнимый и вещественный треугольник? Треугольники не бывают мнимыми или вещественными. Такими бывают числа.
"множество отрезков $%a_1$% и $%a_2$%, сумма которых меньше $%a$%". Нет понятия "сумма отрезков" - есть понятие "сумма длин отрезков". Из отрезков можно составить обычный, нормальный треугольник, а не какой-то мнимый.
Если Вы придумываете лампасины, будьте добры объяснять остальным, что они, по Вашему, означают. Тут мало у кого есть способности читать мысли. Лично я пока не смог настроиться на Вашу телепатическую волну.
Ну, конечно, Вы правы! Не сумма отрезков , а сумма их длин. Мне казалось, что это понятно без пояснений: это же не научная статья. Что касается лампасин. Если из одной тройки соответствующих отрезков можно составить треугольник, а из другой - нельзя, то - опять-таки! - почему нельзя тройку последних назвать мнимым треугольником (в противовес тем тройкам, из которых треугольник составить можно), чтобы всё множество троек отрезков стало замкнутым по одному понятию: треугольник. Мне казалось, что это само собою понятно, и вдруг: это не треугольники, а лампасины. Назовем их так, как Вам приятно