Запись некоторого натурального числа X в шестнадцатеричной системе счисления имеет ровно три значащих разряда. Это число увеличили в два раза, и оказалось, что запись получившегося числа Y в шестнадцатеричной системе также имеет ровно три значащих разряда, причем сумма цифр шестнадцатеричной записи исходного числа X равна сумме цифр шестнадцатеричной записи полученного числа Y. Сколько существует таких чисел X, которые удовлетворяют указанным условиям и при этом содержат хотя бы одну цифру 2 в своей шестнадцатеричной записи? Необходимо решение помимо ответа

задан 17 Окт '17 17:33

10|600 символов нужно символов осталось
0

Вариантов здесь хотя и много, но задача решается вручную. Прежде всего, заметим, что если при удвоении не происходит нигде переносов в следующий разряд, то все цифры удваиваются, и их сумма увеличивается. Это нам не подходит. Рассмотрим несколько случаев, анализируя трёхзначное 16-ичное число с разрядами abc от старшего к младшему, где a<=7, и хотя бы одна из цифр равна 2.

1) c<=7. При удвоении c меняется на 2c. Далее обязателен переход в следующий разряд, то есть b>=8. Средняя цифра равна 2b-16, старшая равна 2a+1. Сумма цифр 2(a+b+c)-15 равна a+b+c. Отсюда a+b+c=15. Если a=2, то b+c=13, и подходят (8,5), (9,6), ... , (13,0) -- это 6 вариантов. Если c=2, то a+b=13, и здесь подходят (5,8), (4,9), ... , (1,12). Это 5 вариантов, но один с a=2 уже учтён. Итого 6+5-1=10 чисел для данного случая.

2) c>=8. Здесь последняя цифра после удвоения равна 2c-16, и единица переходит в следующий разряд. Если b<=7, то в среднем разряде будет 2b+1, а в старшем 2a. Для сумм цифр имеем такое же уравнение, что и выше, то есть a+b+c=15. Вариантов тут снова 10, так как отличие только в том, что b и c поменялись ролями. Если же b>=8, то средняя цифра будет 2b-15, а старшая 2a+1. Для сумм цифр имеем 2a+2b+2c-30=a+b+c, то есть сумма цифр равна 30. Цифрой 2 может быть только a, откуда b+c=28. Это три варианта: (13,15), (14,14), (15,13).

Итого 23 числа. Можно дать их полный список (в десятичной записи), найденный на компьютере: 300, 450, 525, 540, 555, 570, 585, 600, 645, 660, 675, 690, 705, 720, 735, 750, 765, 810, 930, 1065, 1170, 1320, 1410.

ссылка

отвечен 17 Окт '17 18:12

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,206
×1,044
×41
×13

задан
17 Окт '17 17:33

показан
473 раза

обновлен
17 Окт '17 18:12

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru