Здравствуйте, подскажите пожалуйста, правда ли что P(N) ~ P(N) x P(N), где P(N) - множество подмножеств натурального ряда и если правда или нет, то как это можно доказать. Заранее спасибо.

задан 18 Окт '17 22:31

изменен 18 Окт '17 22:45

10|600 символов нужно символов осталось
1

Любое бесконечное множество равномощно своему декартову квадрату. Специфика здесь не играет роли. Общее доказательство можно найти, например, в учебнике Мендельсона по математической логике, Предложение 4.35.

Однако надо признать, что общее доказательство требует достаточно сложного аппарата. Для того частного случая, который здесь рассматривается, возможно более простое рассуждение. Оно даже проще доказательства того, что N ~ N x N.

В самом деле, рассмотрим разбиение N на подмножества N1 и N2 нечётных и чётных чисел. Они оба счётны, то есть P(N) ~ P(N1) ~ P(N2). При этом любое подмножество A множества натуральных чисел, естественным образом разбивается в объединение подмножеств A1 и A2, где A1 состоит из нечётных, а A2 из чётных элементов множества A. Возникает отображение A -> (A1,A2). Оно биективно, так как по образу однозначно восстанавливается прообраз: A = A1 U A2. Это биекция между P(N) и P(N1) x P(N2) ~ P(N) x P(N).

ссылка

отвечен 18 Окт '17 23:20

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×885
×637
×261

задан
18 Окт '17 22:31

показан
470 раз

обновлен
18 Окт '17 23:20

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru