Как доказать что каждое множество положительной меры Лебега на прямой содержит неизмеримое подмножество? И еще пример измеримого множества по Лебегу, прообраз которого при непрерывном отображении неизмерим.

задан 19 Окт '17 16:25

10|600 символов нужно символов осталось
1

Про множество положительной меры см. здесь.

По второй части: пусть $%f\colon[0,1]\to[0,1]$% -- канторова лестница. Тогда $%g(x)=f(x)+x$% монотонно и непрерывно отображает $%[0,1]$% на $%[0,2]$%. Участки постоянства отображения $%f$% (то есть не интервалы, которые выбрасываются при построении канторова множества) отображаются на интервалы такой же длины. Поэтому само канторово множество переходит в некоторое множество меры 1. В нём, по предыдущему, имеется неизмеримое подмножество. Его прообраз при $%g$% содержится в канторовом множестве, которое имеет меру 0, и любое его подмножество тоже. Значит, он измерим. Осталось рассмотреть обратное отображение $%g^{-1}$%, при котором прообраз множества меры 0 окажется неизмерим.

ссылка

отвечен 19 Окт '17 16:59

Что-то не пойму, почему при отображении g^-1 прообраз множества меры 0 окажется неизмерим

(19 Окт '17 17:16) Wannaknoweve...

@Wannaknoweve...: мы взяли неизмеримое множество Y, которое содержится в образе g(C) канторова множества. Тогда X=g^{-1}(Y) содержится в C. Он имеет меру 0. У нас тут всё биективно, и образ X при g, то есть Y, есть прообраз при g^{-1}.

(19 Окт '17 17:24) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Идея построения неизмеримого подмножества в множестве положительной меры такая же, как при построении множества Витали. Пусть $%A$% -- множество положительной меры. Будем считать, что оно ограничено, $%|x| < R$%. Введем в нем отношения эквивалентности по принципу: $%x \sim y \Leftrightarrow x - y \in \mathbb{Q}$%. Легко проверить, что это и правда отношение эквивалентности. Тогда $$ A = \bigcup_{\alpha} A_{\alpha}, $$ где объединение дизъюнктное и $%A_{\alpha}$% -- соответствующие классы эквивалентности. Они не более чем счетны. Воспользуемся аксиомой выбора и выберем по одному элементу $%x_{\alpha} \in A_{\alpha}$%. Рассмотрим рациональные сдвиги множества $%E = \{x_{\alpha}\}_{\alpha}$%,

т.е. множества $%E_n = E + r_n$%, где $%r_n$% - биективная нумерация рациональных чисел. Так как $%|x - y| < 2R$% при $%x, y \in A$%, то $%A$% содержится в $%W = \bigcup_{|r_n| < 2R} E_n$%.

Допустим, что $%E$% измеримо. Тогда $%W$% измеримо, так как измеримость сохраняется при сдвигах, и его мера положительна, так как $%A \subset W$%. Мера так же конечна, так как $%W$% ограничено. Теперь $$ \lambda(W) = \sum_{|r_n| < 2R} \lambda(E_n) = \sum_{|r_n| < 2R} \lambda(E). $$ Тогда сумма справа либо ноль, если $%\lambda(E) = 0$%, либо бесконечности, если $%\lambda(E) > 0$%. Противоречие

Второй пример построим на основе первого. Возьмем некоторое множество $%e$% нулевой меры и попробуем отобразить его в множество положительной меры $%A$%. Тогда взяв в нем неизмеримое подмножество, прообраз будет измерим, как подмножество множества нулевой меры.

Воспользуемся стандартным построением функции Кантора на $%[0,1]$%. $%\varphi(0) = 0$%, $%\varphi(1) = 1$%. В центральной трети, то есть при $%x \in [1/2, 2/3]$% положим $%\varphi(x) = 1/2(\varphi(0) + \varphi(1)) = 1/2$%. На каждом из оставшихся интервалов процедура повторяется: берется центральная треть и значение кладется равным полусумме значений на концах. И так далее, сродни множеству Кантора. Мы построим функцию на плотном подмножестве $%[0,1]$%. Доопределим ее по непрерывности.

Тогда образ канторова множества совпадет с $%[0,1]$%. Тогда некоторая часть образа не измерима

ссылка

отвечен 19 Окт '17 17:20

изменен 19 Окт '17 17:48

@no_exception: сама канторова лестница здесь не подойдёт. Образ измеримого множества здесь получается неизмеримым, но в условии говорится о прообразе. А перейти к обратному отображению мы здесь не можем. То есть нужна "подкрутка".

Спелл-чекер наделал много смешных опечаток -- мне особенно понравилось "полусухое" :)

(19 Окт '17 17:44) falcao

@falcao, а я не прочитал про прообраз :( Тогда достаточно взять лестницу $%+ x$%. А, ну вы это и сделали, похоже.

Ошибки поправить попытался)

(19 Окт '17 17:47) no_exception
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,365
×41

задан
19 Окт '17 16:25

показан
925 раз

обновлен
19 Окт '17 17:49

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru