теория-вероятностей - Математическое ожидание и дисперсия

Рассмотрим сначала случай $%L=1$%. Математическое ожидание расстояния $%\xi$% между двумя случайно брошенными точками $%x$% и $%y$% будет равно двойному интегралу по единичному квадрату от функции $%|x-y|$%. Из соображений симметрии, можно интегрировать по области $%x< y$%, а затем удвоить результат. Сводя двойной интеграл к повторному, имеем $$M\xi=2\int\limits_0^1dy\int\limits_0^y(y-x)\,dx=\int\limits_0^1y^2\,dy=\frac13.$$

Этот же ответ можно получить проще, находя объём пирамиды. Но для нахождения дисперсии всё равно придётся прибегать к интегрированию. Теперь найдём математическое ожидание квадрата расстояния, то есть $$M\xi^2=2\int\limits_0^1dy\int\limits_0^y(y-x)^2\,dx=\frac23\int\limits_0^1y^3\,dy=\frac16.$$ Отсюда выражаем дисперсию: $$D\xi=M\xi^2-\left(M\xi\right)^2=\frac16-\frac19=\frac1{18}.$$

Общий случай получается в результате замены $%\xi$% на $%L\xi$%, в результате чего матожидание умножается на $%L$%, а дисперсия на $%L^2$%. Получается ответ $%L/3$% для матожидания и $%L^2/18$% для дисперсии.