идет проверка аксиом группы:единичный эл-нт существует, обратный тоже, но вот с ассоц-тью надо проверить: надо взять третью матрицу?

Т.е. A + B + C + 1/2(ABC - ACB - CAB - BAC - BCA - CBA) ? далее я просто попробовал умножить три матрицы слева направо такого вида и справа налево и они оказались не ассоц.(но коммутативны), т.е. они не образуют группу.

alt text

задан 20 Окт '17 3:56

изменен 20 Окт '17 4:13

1

Тут все проверки намного сложнее, и формулы будут не такие. Существование нейтрального элемента для такой специфической операции совсем не очевидно, не говоря об обратных.

Элементы не бывают ни ассоциативными, ни коммутативными. Это свойства операции в целом.

Слова "налево" и "направо" пишутся слитно (как и "слева", "справа").

(20 Окт '17 4:05) falcao

@falcao, понятно, а можете пожалуйста немного направить меня, а дальше я попытаюсь расписать все сам!)

(20 Окт '17 4:14) Романенко

@falcao, но третью матрицу думаю нужно вводить для проверки ассоциативности?

Только что проверил, и определитель равен нулю, т.е. она вырожденна--- в этом и проблема?

(20 Окт '17 12:30) Романенко

@Романенко: в условии ассоциативности участвуют три элемента. Поэтому само собой разумеется, что берутся три матрицы, и проверяется, всегда ли верно (AoB)oC=Ao(BoC). Вырождены здесь все матрицы из условия, но это никакой проблемы не создаёт. Ведь у вырожденной матрицы нет обратной, если рассматривается операция умножения. А здесь операция o от умножения сильно отличается, и вообще ближе к сложению.

(20 Окт '17 20:12) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Каждая матрица задаётся тройкой чисел [a,b,c]. Рассмотрим матрицы A, B, соответствующие тройкам [a,b,c], [p,q,r] соответственно. Выведем формулу для тройки, которая соответствует матрице AoB.

Прежде всего, AB даёт тройку [0,ar,0]. Аналогично, BA даёт [0,cp,0]. Следовательно, для AoB получается [a+p,b+q+(ar-cp)/2,c+r].

Проверим закон ассоциативности. Находим тройку для (AoB)oC. Здесь надо рассмотреть предыдущую тройку, и подвергнуть её операции с [x,y,z]. Заметим, что первый и последний элементы тройки можно не проверять, так как там всё суммируется. Средний же элемент будет равен b+q+(ar-cp)/2+y+(a+p)z/2-(c+r)x/2.

Теперь так же точно находим тройку для Ao(BoC). Тройка для BoC находится по формуле [p+x,q+y+(pz-rx)/2,r+z]. Средний элемент итоговой тройки будет равен b+q+y+(pz-rx)/2+a(r+z)/2-c(p+x)/2. Сравнивая с тем, что было в предыдущем абзаце, видим, что имеет место тождественное равенство.

Нейтральным элементом тут будет нулевая матрица, так как Ao0=0oA=0. Далее, Ao(-A)=0=(-A)oA, то есть будет и "обратный" элемент. Тем самым, все аксиомы группы выполнены.

ссылка

отвечен 20 Окт '17 15:46

изменен 21 Окт '17 14:10

@falcao, спасибо, я просто хотел решить из сборника задач по группам пример вот и выложил. После занятий попробовал решить: очень длинное решение получилось(и еще даже не закончил)

(20 Окт '17 20:03) Романенко

т.е. можно было не брать матрицу 3 на 3, а просто строчку?

(20 Окт '17 20:04) Романенко
1

@Романенко: здесь само утверждение ошибочно, которое просят доказать. Видимо, где-то недосмотрели или опечатались.

Строчку я беру для упрощения. Это не замена одного другим -- по строчке мы всегда легко восстанавливаем матрицу. Это только для того, чтобы не писать лишних нулей. Действия всё равно выполняются над матрицами указанного вида, но результат указывается в виде "кода".

(20 Окт '17 20:09) falcao

@falcao, понял, спасибо, а это же ведь не абстрактная задача или абстрактная?

(20 Окт '17 20:49) Романенко

@Романенко: ну, так-то она не абстрактная, потому что пример конкретный рассматривается (и довольно искусственный), но это для лучшего овладения абстрактными понятиями.

(20 Окт '17 22:52) falcao

@falcao,ммм, еще хотел спросить:

1.как, к примеру, умножается [0,0,1] на [1,0,0] ?

2.а сложение я так понял поэлементно?

3.А по какому принципу обратный элемент ищется?(нужно составить ур-ие?)

(21 Окт '17 0:02) Романенко
1

@Романенко: посмотрите на вид матрицы из условия. Там все нули кроме трёх чисел. Запишите туда числа тройки 001. Это будет A. Потом так же точно запишите B по тройке 100. Потом найдите AoB по формуле. Там тоже будут три числа на тех же местах. Их представляете тройкой.

Сложения тут нет, но в формулах, где складываются матрицы, они складываются как обычно.

Обратный для этой операции элемент уже найден и описан.

(21 Окт '17 0:24) falcao

@falcao, спасибо, кажется ясно, но у меня AoB получилось [1, -1/2, 1] ( два раза пресчитывал (подставлял a --- вместо альфа, b-- вместо бета, с-- вместо гамма) ). У Вас для матриц B и С одинаковые тройки, а можно разные взять?

(21 Окт '17 10:56) Романенко

И еще:

1.Ao(-A)=0 --- это я понимаю, но 0=(-A)o0 --- вот это равенство уже для меня не очевидно!(((

2."Обратный для этой операции элемент уже найден и описан."----Вы сказали, что нулевая матрица--это нейтральный элемент, она же и обратный?(простите, немного запутался просто)

(21 Окт '17 11:09) Романенко

@Романенко: равенство 0=(-A)o0 неверно, но это явная опечатка. Там должно быть 0=(-A)oA, по смыслу.

Нулевая матрица -- нейтральный элемент; противоположная (то есть -A) -- обратный.

Непонятно, как именно у Вас получилось [1,-1/2,1] для AоB. Чему равны AB и BA из формулы?

(21 Окт '17 11:28) falcao
1

@falcao, AB -- нулевая получилась, BA-- все нули, кроме 1: в правом верхнем углу(т.е. если по-другому записать [0, 1, 0] ?)

(21 Окт '17 11:38) Романенко
1

@Романенко: оказывается, это я ошибся в вычислениях! Там на самом деле всё ассоциативно будет. Видимо, передоверился машине, не желая считать вручную, а сам числа куда-то не туда подставил. Сейчас перепишу текст решения.

(21 Окт '17 13:58) falcao
показано 5 из 12 показать еще 7
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,519
×1,399
×1,019
×416

задан
20 Окт '17 3:56

показан
456 раз

обновлен
21 Окт '17 14:10

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru