Найдите все пары взаимно простых натуральных чисел a и b такие, что $$a^{2}+2b^{2}$$ делится на $$a+2b$$

задан 25 Фев '13 22:28

изменен 26 Фев '13 10:42

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть $%d=a+2b$%. Тогда $%a^2-4b^2=(a+2b)(a-2b)$% делится на $%d$%, и $%6b^2=(a^2+2b^2)-(a^2-4b^2)$% также делится на $%d$%.

Легко заметить, что $%b$% и $%d$% должны быть взаимно простыми. В противном случае их общий делитель оказался бы общим делителем $%a=d-2b$% и $%b$%. Тогда из того, что $%6b^2$% делится на $%d$%, мы из свойств делимости выводим, что $%6$% делится на $%d$%. С учётом того, что $%a,b$% натуральные, имеем $%d\ge3$%, то есть $%d=3$% или $%d=6$%. В первом случае $%a=b=1$%; во втором -- $%a$% чётно, то есть равно $%2$% или $%4$%. Ясно, что числа $%a=b=2$% подойдут, как и числа $%a=4$%, $%b=1$%. Всего имеется три решения в виде пар.

ссылка

отвечен 25 Фев '13 22:56

Чтобы это решение не казалось сплошной догадкой, можно было просто поделить $%a^2 + 2b^2$% на $%a + 2b$% как многочлены. Остаток будет иметь вид $%6b^2$% и должен делиться на $%a + 2b$% уже как число.

(25 Фев '13 23:21) DocentI

Уважаемый @falcao! Вы очень грамотный и ценный член нашего сообщества. Но, может, не стоит давать сразу полное решение? Тем более, что автор хочет научиться решать олимпиадные задачи, а не просто узнать их решения (надеюсь!)

(25 Фев '13 23:23) DocentI

я не против

(25 Фев '13 23:31) SenjuHashirama
1

@DocentI: да, я согласен, что имитация алгоритма Евклида в таких задачах -- это полезный приём. Что касается полных и частичных решений, то я стараюсь исходить из того, что принесёт больше пользы. Если человеку надо просто сдать решение (типа домашнего задания), то полезнее решать самому. Если же кто-то уже пытался решать, но не получилось, то полезнее "развёрнуто" показать, как это решается. При этом будут усвоены какие-то приёмы решения и оформления, и далее применены в каких-то других задачах.

(25 Фев '13 23:45) falcao

Да кто его знает, чего он хочет. Человек, который говорит "хочу научиться решать олимпиадные задачи, чтобы поступить до ЕГЭ" вызывает у меня сомнения. Как-то уж слишком прагматично (если не сказать "меркантильно"). Для меня олимпиады всегда были овеяны романтикой. И даже, имея диплом со всесоюзной олимпиады (только третий), я совсем не думала про помощь в поступлении! Кстати, я таки экзамены сдавала!

(26 Фев '13 2:14) DocentI

Мне кажется, там немного не так было сказано. Олимпиада рассматривалась просто как средство легко поступить. Это не противоречит интересу к задачам как таковым. Скажем, я в школьные годы олимпиадными задачами буквально "жил", но у меня при этом была мысль попасть на Международную (пусть даже как "запасного"), чтобы пройти на мехмат без экзаменов. Я боялся, что могу получить плохие оценки за сочинение и по физике, не пройдя по конкурсу. В итоге, правда, на олимпиаду не попал, но поступил после одного экзамена с медалью. А задачи решать интересно совершенно независимо от этого.

(26 Фев '13 2:24) falcao

Вот пусть решает! Задача вполне классическая.

(26 Фев '13 23:10) DocentI

Так я и пытаюсь её решить , но не могу никак , дело все в том ,что у нас в лицее мы такие темы не проходим в принципе , от этого у меня огромные пробелы в таких разделах математики как : теория чисел и комбинаторика (хотя из других разделов тоже не все решаю). А основой практически всех олимпиад являются именно эти разделы.

(26 Фев '13 23:42) SenjuHashirama
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,557

задан
25 Фев '13 22:28

показан
2145 раз

обновлен
26 Фев '13 23:42

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru