Доказать, что все промежуточные подкольца между кольцом главных идеалов и его полем частных являются кольцами главных идеалов.

задан 26 Окт '17 0:48

10|600 символов нужно символов осталось
2

Пусть $%R$% есть кольцо главных идеалов (далее PID). И $%S$% есть мультипликативная система в R (т.е. $%S$% это такое подмножество в $%R\setminus\{0\}$%, что для любых $%s_1,s_2\in S$% выполнено $%s_1s_2\in S$% и $%1\in S$%).

Покажем, что всякое кольцо $%R'$% такое, что $%R\subseteq R'\subseteq S^{-1}R$% (здесь $%S^{-1}R$% есть локализация кольца $%R$% относительно $%S$%; в частности при $%S=R\setminus\{0\}$% мы имеем поле частных кольца $%R$%) есть PID.

Пусть $%I$% есть идеал в $%R'$%. Рассмотрим множество: $$N(I)=\left \{ r\in R\ |\ \text{существует}\ s\in S\ \text{такое, что}\ \frac{r}{s}\in I\right \},$$

т.е. $%N(I)$% есть, грубо говоря, множество всех числителей из $%I$%. Как несложно проверить, $%N(I)$% не просто подмножество в $%R$%, а идеал. Т.к. $%R$% есть PID, то найдется такое $%a\in R$%, что $%N(I)=aR$%.

Покажем, что $%I = \frac{a}{1}R'$%. Пусть $%\frac{r}{s}\in I$%, тогда для некоторого $%r_1\in R$% мы имеем: $$\frac{r}{s}=\frac{a\cdot r_1}{1\cdot s}=\frac{a}{1}\cdot\frac{r_1}{s}.$$

ссылка

отвечен 26 Окт '17 13:04

изменен 26 Окт '17 13:17

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×72

задан
26 Окт '17 0:48

показан
87 раз

обновлен
26 Окт '17 13:17

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru