Сколько здесь треугольников?

alt text

задан 26 Окт '17 16:16

изменен 26 Окт '17 16:26

10|600 символов нужно символов осталось
5

Всего на рисунке проведено 9 прямых. Они задают C_9^3=84 троек. Каждый треугольник задаётся тройкой прямых, не проходящих через одну точку. Также среди этих прямых не должно быть параллельных.

Всего здесь 10 точек, из которых через 4 проходит по 3 прямые (вершины основного треугольника, и одна точка в центре), через 3 проходит по 4 прямые (вершины на сторонах), и через 3 проходит по 2 прямые (точки на сторонах "вписанного" треугольника). Последние можно не учитывать. Остальные 4 вершины дают по одной тройке, и 3 вершины дают по 4 тройки. Итого 4+12=16 "лишних" троек. Их количество вычитаем.

Теперь заметим, что среди 9 прямых у нас есть 3 пары параллельных. Для каждой такой пары имеется 7 прямых, которые обе из них пересекают. Это даёт ещё 21 тройку, которая не подходит.

Итого имеем ответ 84-16-21=47 треугольников.

"Коварная" задача!

ссылка

отвечен 26 Окт '17 18:03

изменен 26 Окт '17 21:35

@falcao , большое спасибо!

(27 Окт '17 0:03) Аллочка Шакед

@falcao , Вы, возможно, не поверите, но эта задача предлагалась пятиклассникам на олимпиаде "Бельчонок". Сейчас ссылку нарою...

(27 Окт '17 0:04) Аллочка Шакед
(27 Окт '17 0:06) Аллочка Шакед

@falcao , если у бельчонка такой сумасшедший IQ, то он уже не бельчонок а лось (из того самого анекдота), который говорит: "Добрый вечер!"

(27 Окт '17 0:08) Аллочка Шакед
1

@Аллочка Шакед: там всё-таки тест, и кто-то может чисто случайно угадать, или подобрать ответ, подходящий из соображений симметрии.

Задача хорошая, конечно, но в связи с использованным названием, почему-то подумалось про известный образ "белочки" :)

(27 Окт '17 0:18) falcao

@falcao, мы забыли рассмотреть ещё один теоретически возможный случай, когда две прямые "почти" параллельны, и третья вершина треугольника оказывается за пределами фигуры, данной в задаче!

(27 Окт '17 0:47) Аллочка Шакед
1

@Аллочка Шакед: а почему забыли? Здесь ведь предполагается, как я понимаю, что точки -- это середины сторон. Понятно, что если это не так, то картинка получается "изотопной", и всё сводится к случаю паралельности. А если там не середины, то прямые где-то далеко пересекаются и образуют треугольник, которого на рисунке нет. Я думаю, что эти соображения в принципе лишние.

(27 Окт '17 1:06) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
2

@falcao, вот у Аллки тоже 68 получилось, с тем же решением. По правде говоря, я ни в Ваше, ни в Аллкино решение досконально не вчитывался, но основную идею уловил.

Только вот правильный ответ, почему-то, 47 :(((

ссылка

отвечен 26 Окт '17 19:43

1

@falcao, и я даже догадываюсь, почему. Среди прямых есть параллельные :)))

(26 Окт '17 19:56) Пацнехенчик ...
1

@Пацнехенчик ...: да, действительно. Я сейчас пересчитал, и в самом деле оказалось 47. Вношу исправления.

(26 Окт '17 21:33) falcao
1

@falcao, по-моему здесь больше чем 47 треугольников

(23 Сен '18 2:19) character46
1

@character46: если так, то в рассуждении есть ошибка. Найдите её!

(23 Сен '18 3:00) falcao
1

@falcao, я всё пересмотрел, ошибки нет. И да, посчитал опять треугольники, ровно 47

(23 Сен '18 7:00) character46
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,134
×1,077
×338
×277
×147

задан
26 Окт '17 16:16

показан
1154 раза

обновлен
23 Сен '18 7:00

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru