Помогите, пожалуйста, найти значения $%a$%, при которых неравенство $%x^2+|x-a|<1$% имеет хотя бы одно положительное решение.

задан 26 Фев '13 11:12

изменен 26 Фев '13 15:13

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
2

Нужно разобрать два случая: когда найденное положительное решение $%x$% удовлетворяет неравенству $%x\ge a$%, и когда $%x< a$%. В обоих случаях получается квадратичное неравенство $%x^2+x-a-1< 0$% или $%x^2-x+a-1< 0$%. В обоих случаях дискриминант положительный, а $%x$% расположен строго между корнями. Далее анализируется, когда можно выбрать положительное $%x$%, и как оно будет соотноситься с $%a$%. Это приводит к достаточно простым неравенствам относительно $%a$% с участием квадратных корней.

Если этой информации мало, можно сделать чуть более детальное рассмотрение.

P.S. При том способе решения, который выше был описан, получается ответ $%a\in(-1,5/4)$%. Но там возникает довольно много мелких вычислений, поэтому лучше всего использовать идею, предложенную @Anatoliy, представив неравенство в виде $%|a-x|<1-x^2$%. Нас интересуют положительные значения $%x$%, согласно условию, и если $%x$% -- одно из таких решений для какого-то значения параметра $%a$%, то $%1-x^2>0$%, откуда $%x\in(0,1)$%. Только такие решения у нас могут быть. И теперь удобно зафиксировать произвольное $%x$% из этого интервала, решив неравенство относительно $%a$%. Получится $$x-1+x^2 < a < x+1-x^2,$$ и надо посмотреть, какие значения на $%(0,1)$% принимают квадратичные функции, участвующие в этом неравенстве.

Ясно, что $%1+x-x^2$% имеет точку максимума при $%x=1/2$%, в которой значение функции равно $%5/4$%. Отсюда $%a< 5/4$%. На концах отрезка значение функции равно $%1$%. А функция $%x^2+x-1$% возрастает, принимая на отрезке значения от $%-1$% до $%1$%, откуда $%-1< a$%. Таким образом, $%a\in(-1,5/4)$%, и осталось обосновать, что всякое такое $%a$% подходит.

Искомым множеством значений для $%a$% будет объединение всех интервалов вида $$(x^2+x-1,-x^2+x+1),$$ по всем $%x\in(0,1)$%. При всех таких $%x$% имеют место неравенства $$-1 < x^2+x-1 < 1 < -x^2+x+1 \le \frac54,$$ то есть все интервалы имеют общее пересечение. При этом правые концы достигают значения $%5/4$% при $%x=1/2$%, а левые -- подходят сколь угодно близко к $%-1$% при $%x$% стремящемся к нулю (справа). Точка $%5/4$% будет правой границей интервалов, но не войдёт ни в один из них. Из этого вытекает, что ответом будет $%a\in(-1,5/4)$%.

ссылка

отвечен 26 Фев '13 14:34

изменен 26 Фев '13 19:38

10|600 символов нужно символов осталось
1

$%x^2+|x-a|<1\Leftrightarrow |x-a|<1-x^2.$% Рассмотрим две функции $%y=|x-a|$% и $%y=1-x^2$%. График первой функции касается графика второй функции в точках, удовлетворяющих уравнениям: $%(1-x^2)^{'}=1;(1-x^2)^{'}=-1.$% Откуда $%x=-\frac{1}{2}$% и $%x=\frac{1}{2}$%. Из этого следует (после несложных вычислений), что $%a\in(-1,25;1,25).$% Если хотя бы одно положительные решения, то $%a\in(-1;1,25).$%

alt text

ссылка

отвечен 26 Фев '13 16:55

изменен 26 Фев '13 20:03

У меня получился ответ $%(-1;1,25)$%. В Вашем решении не учтено, что рассматриваются только положительные значения $%x$%.

(26 Фев '13 19:41) falcao

Верно, нужно внимательно читать условие.

(26 Фев '13 20:04) Anatoliy
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,488
×359

задан
26 Фев '13 11:12

показан
1059 раз

обновлен
26 Фев '13 20:04

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru