|
$% x^3 + px + q = 0 , вычислить: \frac{x1}{x2} + \frac{x2}{x3} + \frac{x3}{x1} + \frac{x2}{x1} + \frac{x3}{x2} + \frac{x1}{x3} $% Пробовал выразить через теорему Виета для кубических уравнений, не получилось. задан 28 Окт '17 18:42 
PavLee |
|
Через степенные суммы $%s_n=x_1 ^n+x_2 ^n+x_3 ^n$% требуемая величина выражается следующим образом: $$\frac{s_1 s_2 - s_3}{x_1 x_2 x_3}=-\frac{s_3}{x_1 x_2 x_3},$$ т.к. в данном случае $%s_1 =0.$% При этом из уравнения следует, что $$s_3+p s_1 + 3q=0,$$ так что при $%s_1 = 0$% $$s_3 = -3q,$$ и $$-\frac{s_3}{x_1 x_2 x_3} = -3,$$ независимо от p и q. отвечен 28 Окт '17 19:24 
splen |
Сумма корней равна нулю: x1+x2+x3=0. Тогда (x1+x2)/x3=-1, и то же самое для двух других пар слагаемых. Итого -3.