алгебра - При каких натуральных значениях n число $%n^{2}-52$% делится на $%9n+62$%

Здесь сначала полезно чуть упростить коэффициенты, сделав замену $%n=m-7$%. Тогда получится вопрос о том, при каких натуральных $%m\ge8$% число $%m^2-14m-3$% делится на $%9m-1$%. Удобно к первому числу прибавить удвоенное второе, и спрашивать то же самое про делимость $%m^2+4m-5$% на $%9m-1$%.

Умножим первое число на $%9$% -- оно тоже делится на $%9m-1$%. Из него можно вычесть $%(9m-1)m$%, и окажется, что $%37m-45$% делится на $%9m-1$%. Вычитая $%4(9m-1)$% из первого числа, получим $%m-41$%. Оно может делиться на $%9m-1$% только будучи равным нулю. В самом деле, если $%m>41$%, то оба числа натуральные, а первое меньше. Значит, оно делиться не будет. А если $%m<41$%, то $%41-m\ge9m-1$%, то есть $%m\le4$%. Так быть не может: у нас $%m$% не меньше $%8$%.

Теперь надо сделать проверку числа $%m=41$% (преобразования, вообще говоря, были не равносильными). Проверяя, видим, что $%m^2+4m-5=1840$% делится на $%9m-1=368$%. Значит, $%n=m-7=34$% даёт единственное решение в натуральных числах.

Среди отрицательных целых чисел есть и другие решения. Их тоже можно найти.

Стратегия во всех задачах этого типа примерно одинаковая: делить условно большее число на условно меньшее с остатком, иногда используя домножение на коэффициент.