Помимо чисел 1, 16, 128, 1024, 3584 и 262144, существуют ли натуральные числа, у которых сумма нечётных цифр (в десятичной записи) равна сумме нечётных делителей?

задан 2 Ноя '17 1:21

изменен 2 Ноя '17 1:24

10|600 символов нужно символов осталось
1

Судя по всему, таких чисел очень много (скорее всего, бесконечно много). Из "небольших" можно сразу указать 5120.

Получать эти числа можно так. Загадаем нечётное число $%m$% как максимальный нечётный делитель исследуемого числа. Будем рассматривать числа вида $%2^km$%, где $%k\ge0$%. Для каждого из них смотрим сумму нечётных цифр, и сравниваем с $%\sigma(m)$%, что и будет суммой нечётных делителей.

При $%m=1$% получаются степени двойки. Нам нужны такие, где нечётной цифрой является одна единица, и больше ничего. Это только указанные здесь числа 1, 16, 128, 1024, 262144. Последнее равно $%2^{18}$%. Понятно, что дальше шансы на обнаружение такого числа становятся очень небольшими: вероятность того, что встретится одна 1, а остальные десятичные цифры чётны, стремительно падает с ростом показателя. (В пределах $%k\le1000$% больше ничего нет, как свидетельствует Maple.)

Случай $%m=3$% ничего не дал; для $%m=5$% получается уже упомянутое число 5120, которое находимо и вручную. При $%m=7$% появляется два числа: 3585 и ещё 7168 (вдвое больше предыдущего). Для $%m=9$% имеется (в просмотренном диапазоне) одно число 147456 (показатель при двойке равен 14).

Укажем остальные найденные варианты: $%47244640256=2^{32}\cdot11$%; $%425984=2^{15}\cdot13$%; при $%m=15,17$% ничего не обнаружено; $%41781441855488=2^{41}\cdot19$%; $%23089744183296=2^{40}\cdot21$%. Пока всё лишь в одном экземпляре. Интересные варианты получаются при $%m=23$%. Их сразу четыре: $%1543503872, 3087007744, 24696061952, 12644383719424$% (показатели степени двойки равны 26, 27, 30, 39). Почему-то сумма нечётных цифр 24 получается "охотнее".

Дальше какое-то время ничего нет, и очередной вариант равен $%2181431069507584=2^{46}\cdot31$%. Затем идут $%78812993478983680=2^{51}\cdot35$%; $%341264765363626704896=2^{63}\cdot37$%; "монстр" вида $%193118646128519322884263378944=2^{92}\cdot39$% с большим значением показателя и суммой нечётных цифр 56; "скромное" $%180319906955264=2^{42}\cdot41$%; два варианта $%6196953087261802496, 3406810988113366516522389864448$% для $%m=43$% с показателями 57,96, и так далее. После $%110975612347436662521856=2^{71}\cdot47$% идёт первый вариант с показателем степени двойки больше ста: $%63134942003554394019855335424, 1164634117248063262943561351070788031288321245184$% для $%m=51$% с показателями 90 и 154.

Дальше там тоже интересно (при $%m=75$% и при $%m=89$% появляется по 4 большущих числа), но явно выписывать их уже нет смысла. Досчитав до $%m=99$% и получив один вариант $%2^{181}\cdot99$%, я приостановил поиски. Из общих соображений можно предположить, что и дальше числа продолжают появляться.

ссылка

отвечен 2 Ноя '17 18:30

@falcao , большое спасибо!

(3 Ноя '17 18:36) Аллочка Шакед
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,132
×1,077
×338
×276
×147

задан
2 Ноя '17 1:21

показан
280 раз

обновлен
3 Ноя '17 18:36

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru