Найдите такие C и a, что $$\Sigma^N_{n = 1} 1/(n^{0.75}) = CN^a$$$$(N \rightarrow inf)$$

задан 2 Ноя '17 19:24

Если f(x) > 0 -- убывающая функция, то интеграл от 1 до N от неё находится между f(2)+...+f(N) и f(1)+...+f(N-1). В данном случае интеграл от f(x)=x^{3/4} мы знаем: первообразная равна F(x)=4x^{-1/4}. Ввиду того, что f(N)->0, а константы малы по сравнению с F(N), получается эквивалентность ~ 4N^{1/4}. Этот способ (замена суммы интегралом) работает и во многих других ситуациях.

(3 Ноя '17 0:13) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Естественно ожидать, что сумма обратных степеней $%n^{-p}$% будет вести себя, как $%N^{-p+1}$%.

При $% p < 1 $% с помощью теоремы Штольца вычисляется предел $$\lim_{N \to \infty} \frac{\sum \limits_{n=1}^N \frac{1}{n^p}}{N^{1-p}}=\lim_{N \to \infty} \frac{\frac{1}{N^p}}{N^{1-p}-(N-1)^{1-p}}=\lim_{N \to \infty} \frac{\frac{1}{N}}{1- \left( 1- \frac{1}{N} \right)^{1-p}}=\frac{1}{1-p}.$$ Значит, при $% p < 1 $% $$\sum \limits_{n=1}^N \frac{1}{n^p} \sim \frac{1}{1-p} N^{1-p}, \; N \to \infty.$$ В частности, $$\sum \limits_{n=1}^N \frac{1}{n^{0.75}} \sim 4 \sqrt[4] N.$$

ссылка

отвечен 2 Ноя '17 22:09

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×676
×358
×97

задан
2 Ноя '17 19:24

показан
290 раз

обновлен
3 Ноя '17 0:13

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru