Расположите в вершинах правильного десятиугольника числа от 1 до 10 так, чтобы для любых двух соседних чисел их сумма была равна сумме двух чисел, им противоположных (симметричных относительно центра окружности, вписанной в этот десятиугольник).

У меня получилось 1, 10, 2, 9, 3, 6, 5, 7, 4, 8. Правильный ответ: 1, 4, 5, 8, 9, 2, 3, 6, 7, 10.

Хотелось бы узнать, сколько всего существует способов это сделать.

задан 4 Ноя '17 11:18

10|600 символов нужно символов осталось
1

Очень красивая получилась задача: здесь все варианты анализируются вручную.

Занумеруем числа по кругу. По условию, a1+a2=a6+a7, то есть a1-a6=-(a2-a7). Это значит, что разности диаметрально противоположных чисел чередуются. Получается, что все 10 чисел разбиты на пары с одинаковой разностью большего и меньшего из них.

Фиксируя значение этой разности, смотрим, какие бывают варианты разбиений. Если разность равна 1, то разбиение только такое: 1-2, 3-4, 5-6, 7-8, 9-10. Если разность равна 2, то сначала идут 1-3, потом 2-4, потом 5-7, далее 6-8, и пара 9-10 уже не годится. По этой же причине не проходят варианты с разностью 3 (1-4, 2-5, 3-6, 7-10) и разностью 4 (1-5, 2-6, 3-7, 4-8). Для разности 5 есть один вариант 1-6, 2-7, 3-8, 4-9, 5-10). Очевидно, что для больших значений разности уже ничего нет.

Таким образом, надо проанализировать два типа расстановок. Заметим, что Ваш вариант относится ко второму типу, а авторский -- к первому.

Для первого типа, где-то находится диаметрально противоположная пара 1-2. Вслед за ней по кругу идёт пара вида 2k-(2k-1). Затем снова пара вида (2m-1)-2m, и так далее. Видно, что нечётные числа идут через два, и противоположные им чётные тоже через два. Всё определяется расположением чисел 1, 3, 5, 7, 9 по кругу, через одно. Их можно расставить как угодно, а на противоположных местах расставить числа, большие на 1. С точностью до симметрии, таких расположений 12: место 1 фиксируем, а остальное распределяется 4! способами, с дополнительным делением на 2 из-за двух возможных направлений расположения. В авторском примере взят порядок 1, 5, 9, 3, 7, но можно было взять любой другой. Например, если брать нечётные числа по порядку, то возникает расположение 1 8 3 10 5 2 7 4 9 6.

Для второго типа разбиения всё аналогично: там на местах через два находятся числа первой половины, от 1 до 5, а диаметрально противоположны им числа второй половины, в том же порядке. Первые расставляем на своих местах как попало, и способов будет тоже 12, с точностью до симметрии. В Вашем примере взято расположение 1, 2, 3, 5, 4.

Итого 24 расстановки, если не различать симметричные (если различать, то их будет в 20 раз больше).

ссылка

отвечен 4 Ноя '17 12:27

@falcao , громадное спасибо!

(4 Ноя '17 16:32) Аллочка Шакед
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,401
×1,116
×370
×310
×150

задан
4 Ноя '17 11:18

показан
769 раз

обновлен
4 Ноя '17 16:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru