Все вершины замкнутой ломаной линии, образованной целочисленными отрезками, имеют целочисленные координаты. Может ли общая длина линии быть равна 2013? Yog Urt

задан 27 Фев '13 21:14

10|600 символов нужно символов осталось
2

Сумма корней из натуральных чисел принимает целое значение только тогда, когда все эти числа будут точными квадратами. Это следует из известного факта линейной независимости над $%{\mathbb Q}$% чисел вида $%\sqrt{n}$%, где $%n$% пробегает значения, свободные от квадратов (то есть берутся такие $%n$%, которые являются произведениями попарно различных простых чисел).

Дальше всё следует из соображений чётности: поскольку квадрат числа имеет ту же чётность, что и само число, то сумма длин гипотенуз нечётна, а суммы длин катетов (как горизонтальных, так и вертикальных) чётна. Этого быть не может. Поэтому ответ будет отрицательным для любого нечётного числа.

ссылка

отвечен 27 Фев '13 22:35

10|600 символов нужно символов осталось
2

При необходимости можно провести прямое вычисление. Пусть замкнутая ломаная образована вершинами $%A_1, A_2, ..., A_{n-1}$% и $%A_n=A_0$%, причём $%(x_k,y_k)$% - координаты вершины $%A_k \; (k=0,1,2,...,n)$%. Тогда длины звеньев ломаной $%l_k=\sqrt{(x_k-x_{k-1})^2+(y_k-y_{k-1})^2}.$% Следовательно, т.к. $%x_n=x_0$% и $%y_n=y_0$%, $$\sum\limits_{k=1}^n l_k^2=2 \sum\limits_{k=1}^n(x_k^2+y_k^2-x_kx_{k-1}-y_ky_{k-1}),$$ и получается, что $$2013^2=\left( \sum\limits_{k=1}^n l_k \right)^2 = \sum\limits_{k=1}^n l_k^2 + 2\sum\limits_{1 \leq i < j \leq n} l_i l_j = $$ $$=2 \left( \sum\limits_{k=1}^n(x_k^2+y_k^2-x_kx_{k-1}-y_ky_{k-1})+ \sum\limits_{1 \leq i < j \leq n} l_i l_j\right)$$ - противоречие.

ссылка

отвечен 28 Фев '13 6:07

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×116

задан
27 Фев '13 21:14

показан
1021 раз

обновлен
28 Фев '13 13:06

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru