|
Конечная арифметическая прогрессия состоит из 24 членов, сумма которых равна 60. Известно, что среди ее членов есть числа 2 и 5. Найдите все такие прогрессии. задан 27 Фев '13 22:44 
danny_leonov |
|
Я сначала составил систему уравнений, но потом понял, как можно решить проще -- с более "прозрачными" рассуждениями. Сумма двух членов прогрессии, равноудалённых от концов, всегда одинакова. В данном случае она равна $%5$%, так как $%12$% пар в сумме должны составить $%60$%. Каждому члену прогрессии, равному $%x$%, соответствует $%5-x$%, причём эти два члена не совпадают, и они симметричны относительно "середины" прогрессии. Коль скоро у нас есть $%2$% и $%5$%, то есть и симметричные им $%3$% и $%0$%. Будем считать, что прогрессия возрастающая, так как если прочитать её "задом наперёд", то все свойства сохранятся. Итак, прогрессия включает в себя $%0$%, $%2$%, $%3$%, $%5$%. Понятно, что числа $%1$% и $%4$% также должны быть, то есть присутствуют все целые числа от $%0$% до $%5$%. Между любой парой соседних чисел этого списка содержится одно и то же количество членов, причём оно должно быть чётно -- из тех соображений, что $%2$% и $%3$% симметричны, а "центрального" члена нет. Пусть это количество равно $%2k$%. Помимо уже рассмотренных $%6$% членов, между ними находятся ещё по крайней мере $%10k$%. Так как членов $%24$%, число $%k$% равно $%0$% или $%1$%. Это однозначно определяет две прогрессии -- с учётом того, что общее количество членов мы знаем. Получается $$-9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14$$ для $%k=0$%, и $$-4/3, -1, -2/3, -1/3, 0, 1/3, 2/3, 1, 4/3, 5/3, 2, 7/3, 8/3, 3, 10/3, 11/3, 4, 13/3, 14/3, 5, 16/3, 17/3, 6, 19/3$$ для $%k=1$%. Всего же искомых прогрессий будет четыре -- с учётом обращения порядка следования членов. отвечен 27 Фев '13 23:50 
falcao |
|
Сумма 24-х членов равна 60, следовательно, сумма первого и последнего (24-го), второго и предпоследнего (23-го) равна пяти. Если $%a_1=2, a_{24}=3$%, тогда в этой возрастающей последовательности нет 5. И т.д., если $%a_{10}=2, a_{15}=3$%, тогда $%a_{20}=4, a_{25}=5$%, но пятерка должна быть среди 24-х членов (не подходит). Осталось рассмотреть: если $%a_{11}=2, a_{14}=3$%, тогда $%a_{17}=4, a_{20}=5$% (подходит, $%d=1/3, a_1=-4/3$%); если $%a_{12}=2, a_{13}=3$%, тогда $%a_{14}=4, a_{15}=5$% (подходит, $%d=1, a_1=-9$%). Ну и конечно два варианта с убывающей арифметической прогрессией (наоборот). Всего 4 варианта. отвечен 27 Фев '13 23:43 
Lyudmyla |