Докажите, что существует бесконечно много троек последовательных натуральных чисел, не делящихся на квадраты простых чисел.

задан 5 Ноя '17 2:18

10|600 символов нужно символов осталось
2

Рассмотрим отрезок натурального ряда от $%1$% до $%4N$%. Будем рассматривать тройки вида $%4k-3,4k-1,4k-2$%, в которых нет числа, делящегося на $%4$% (попутно можно заметить, что последовательных четвёрок с данным свойством нет вообще). Таких троек ровно $%N$%. Оценим сверху число троек, в которых хотя бы одно число делится или на $%9$%. или на $%25$%, или на $%49$% -- и так далее по всем квадратам простых.

Чисел в данном промежутке, делящихся на $%p^2$%, не больше $%\frac{4N}{p^2}$%. Поэтому количество троек, в которых есть число, делящееся на $%9$%, не больше $%\frac{4N}9$%; количество троек, в которых есть число, делящееся на $%25$%, не больше $%\frac{4N}{25}$%, и так далее. Общее количество троек, которые нам не подходят, оценивается сверху величиной $%4N(\frac1{3^2}+\frac1{5^2}+\frac1{7^2}+\cdots+\frac1{p^2}+\cdots)$%.

Сумму чисел в скобках, начиная с шестого слагаемого, можно грубо оценить сверху как $%\frac1{17^2}+\frac1{18^2}+\cdots < \frac1{16\cdot17}+\frac1{17\cdot18}+\cdots=\frac1{16}$%. Тогда всё вместе даёт меньше $%\frac19+\frac1{25}+\frac1{49}+\frac1{121}+\frac1{169}+\frac1{16}=\alpha < \frac14$%. Это значит, что в нашем распоряжении имеется более $%(1-4\alpha)N$% подходящих троек в рассматриваемом промежутке. При $%N\to\infty$% эта величина стремится к бесконечности.

Интересно, какова асимптотика данной величины. Вычисления показывают, что из $%N$% рассматриваемых троек, примерно половина подходит. Точная сумма ряда величин, обратных квадратам простых, по-видимому, должна быть известна.

ссылка

отвечен 5 Ноя '17 4:47

@falcao, большое спасибо!

(5 Ноя '17 10:58) Аллочка Шакед

@falcao: A085548 в OEIS - десятичные знаки суммы ряда величин, обратных квадратам простых.

У Серпинского "Что мы знаем и чего не знаем о простых числах" на стр.63:

Мы не знаем, существует ли бесконечное множество троек последовательных натуральных чисел, каждое из которых является произведением двух простых различных чисел.

(5 Ноя '17 17:22) EdwardTurJ
1

@EdwardTurJ: а я, грешным делом, думал, что точные значение такого рода констант известны.

У меня первыми ассоциациями с этой задачей была функция Мёбиуса и тройка чисел 33, 34, 35, хотя понятно, что тут не обязательно должны быть тройки именно этого вида. Интересно, а что известно для пар соседних чисел вида pq?

(5 Ноя '17 20:13) falcao

@falcao: Хороший вопрос о парах соседних чисел вида pq ! Серпинский возможно знал ответ.

(5 Ноя '17 20:39) EdwardTurJ

@EdwardTurJ - что-то я не понял. Серпинский знал ответ, а в книге написал "мы не знаем ответа"?..

(5 Ноя '17 21:11) knop

@knop: один вопрос про тройки, другой (более слабый) -- про пары.

(5 Ноя '17 21:24) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,020
×720
×322
×213
×143

задан
5 Ноя '17 2:18

показан
365 раз

обновлен
5 Ноя '17 21:24

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru