самообразование - Тройки последовательных чисел, не кратных квадратам простых

Рассмотрим отрезок натурального ряда от $%1$% до $%4N$%. Будем рассматривать тройки вида $%4k-3,4k-1,4k-2$%, в которых нет числа, делящегося на $%4$% (попутно можно заметить, что последовательных четвёрок с данным свойством нет вообще). Таких троек ровно $%N$%. Оценим сверху число троек, в которых хотя бы одно число делится или на $%9$%. или на $%25$%, или на $%49$% -- и так далее по всем квадратам простых.

Чисел в данном промежутке, делящихся на $%p^2$%, не больше $%\frac{4N}{p^2}$%. Поэтому количество троек, в которых есть число, делящееся на $%9$%, не больше $%\frac{4N}9$%; количество троек, в которых есть число, делящееся на $%25$%, не больше $%\frac{4N}{25}$%, и так далее. Общее количество троек, которые нам не подходят, оценивается сверху величиной $%4N(\frac1{3^2}+\frac1{5^2}+\frac1{7^2}+\cdots+\frac1{p^2}+\cdots)$%.

Сумму чисел в скобках, начиная с шестого слагаемого, можно грубо оценить сверху как $%\frac1{17^2}+\frac1{18^2}+\cdots < \frac1{16\cdot17}+\frac1{17\cdot18}+\cdots=\frac1{16}$%. Тогда всё вместе даёт меньше $%\frac19+\frac1{25}+\frac1{49}+\frac1{121}+\frac1{169}+\frac1{16}=\alpha < \frac14$%. Это значит, что в нашем распоряжении имеется более $%(1-4\alpha)N$% подходящих троек в рассматриваемом промежутке. При $%N\to\infty$% эта величина стремится к бесконечности.

Интересно, какова асимптотика данной величины. Вычисления показывают, что из $%N$% рассматриваемых троек, примерно половина подходит. Точная сумма ряда величин, обратных квадратам простых, по-видимому, должна быть известна.