Вычислить с помощью двойного интеграла в полярных координатах площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной уравнением в декартовых координатах (a>0).

$$(x^2+y^2)^2=a^2(2x^2+3y^2)$$

Перешел к полярным: $$r=a \sqrt{2cos^{2} \alpha +3sin^{2}} \alpha $$

alt text

Как дальше определить период и вычислить площадь?

задан 28 Фев '13 10:18

изменен 28 Фев '13 13:04

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
1

Выражение под корнем упрощается до $%2+\sin^2\alpha$%. Площадь маленького сектора с углом $%d\alpha$% находится по формуле $%r^2d\alpha/2$%; далее надо проинтегрировать от $%0$% до $%2\pi$%. Получится $%5\pi a/2$%.

Если использовать двойной интеграл, то его рассматриваем сначала в декартовых координатах по данной области, интегрируя функцию $%1$%, а затем заменяем $%dx\,dy$% на $%rdr\,d\alpha$% с учётом якобиана замены. По $%\alpha$% идёт интегрирование от $%0$% до $%2\pi$%, а $%r$% при данном $%\alpha$% меняется от $%0$% до $%a\sqrt{2+\sin^2\alpha}$%. Сводим двойной интеграл к повторному, и получается то же, что и выше, то есть $$\frac{a}2\int\limits_0^{2\pi}(2+\sin^2\alpha)d\alpha=\frac{5\pi a}2.$$

То, что период равен $%2\pi$%, видно из графика, но это можно обосновать аналитически, рассматривая отдельные "четвертинки".

ссылка

отвечен 28 Фев '13 11:34

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×222
×163

задан
28 Фев '13 10:18

показан
2832 раза

обновлен
28 Фев '13 13:04

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru