Разложить данную функцию f(x)=x^2 в ряд Фурье в интервале (0, 2pi). Вычислил коэффициент $$a_0 = \int_{0}^{2\pi} x^2 \, dx = \frac {8\pi^3}{3}$$ помогите решить.

задан 1 Мар '13 7:37

изменен 1 Мар '13 7:48

10|600 символов нужно символов осталось
2

Так как интервал не симметричен относительно начала координат, то у нас будут и косинусы, и синусы в разложении. Вам надо посчитать

$$a_0=\frac {1} {\pi}\int\limits_0^{2\pi}x^2dx \\ a_n=\frac {1} {\pi}\int\limits_0^{2\pi}x^2\cos nx~dx \\ b_n=\frac {1} {\pi}\int\limits_0^{2\pi}x^2\sin nx~dx$$

В качестве подсказки: $%a_n=\int\limits_0^{2\pi}x^2\cos nx~dx=\frac{1}{\pi}\int\limits_0^{2\pi}x^2d\left( \frac{1} {n} \sin nx \right) = ....$%

Там несколько раз придётся проинтегрировать по частям.

ссылка

отвечен 1 Мар '13 7:56

изменен 1 Мар '13 7:57

Число $%a_n$% не должно зависеть от $%x$%. Первое слагаемое нужно рассматривать в тех же пределах от $%0$% до $%2\pi$%, то есть брать разность значений. Она равна нулю. Во втором слагаемом нужно ещё раз применить интегрирование по частям, занося тригонометрическую функцию под знак дифференциала.

(1 Мар '13 10:49) falcao

Спасибо за объяснения, но я запутался. $$a_n: u=\frac{2}{n}; du=-\frac{2}{n^2}; dv=sin nx; v= -\frac {cos nx}{n}$$ $$-\frac{2cos nx}{n^2}-\int_{0}^{2\pi}-\frac{-cosnx}{n}d\frac{2}{n^2}$$

(1 Мар '13 11:47) lodger

@lodger: когда Вы находите дифференциал функции от $%x$%, надо производную функции умножать на $%dx$%. Поэтому уже в первом Вашем комментарии, где $%u=x^2$%, должно быть $%du=2x\,dx$%. Соответственно, в самом последнем из интегралов будет множитель $%x$%. А все те множители, которые от $%x$% не зависят, удобно выносить за знаки интеграла, как только они появляются.

(1 Мар '13 16:02) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

При нахождении $%a_0$% нужно ещё разделить на $%\pi$%.

Остальные коэффициенты находятся по известным формулам. Интегралы от $%x^2\cos nx$% и $%x^2\sin nx$% вычисляются при помощи интегрирования по частям. Их также надо поделить на $%\pi$%.

Если не ошибаюсь, должно получиться следующее: $$x^2=\frac43\pi^2+4\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\cos nx}{n^2}-4\pi\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nx}{n}$$ на интервале $%(0,2\pi)$%.

ссылка

отвечен 1 Мар '13 8:33

изменен 3 Мар '13 16:27

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×522
×43
×12

задан
1 Мар '13 7:37

показан
6823 раза

обновлен
12 Мар '13 18:58

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru