|
Разложить данную функцию f(x)=x^2 в ряд Фурье в интервале (0, 2pi). Вычислил коэффициент $$a_0 = \int_{0}^{2\pi} x^2 \, dx = \frac {8\pi^3}{3}$$ помогите решить. задан 1 Мар '13 7:37 
lodger |
|
Так как интервал не симметричен относительно начала координат, то у нас будут и косинусы, и синусы в разложении. Вам надо посчитать $$a_0=\frac {1} {\pi}\int\limits_0^{2\pi}x^2dx \\ a_n=\frac {1} {\pi}\int\limits_0^{2\pi}x^2\cos nx~dx \\ b_n=\frac {1} {\pi}\int\limits_0^{2\pi}x^2\sin nx~dx$$ В качестве подсказки: $%a_n=\int\limits_0^{2\pi}x^2\cos nx~dx=\frac{1}{\pi}\int\limits_0^{2\pi}x^2d\left( \frac{1} {n} \sin nx \right) = ....$% Там несколько раз придётся проинтегрировать по частям. отвечен 1 Мар '13 7:56 
MathTrbl Число $%a_n$% не должно зависеть от $%x$%. Первое слагаемое нужно рассматривать в тех же пределах от $%0$% до $%2\pi$%, то есть брать разность значений. Она равна нулю. Во втором слагаемом нужно ещё раз применить интегрирование по частям, занося тригонометрическую функцию под знак дифференциала.
(1 Мар '13 10:49)
falcao
Спасибо за объяснения, но я запутался. $$a_n: u=\frac{2}{n}; du=-\frac{2}{n^2}; dv=sin nx; v= -\frac {cos nx}{n}$$ $$-\frac{2cos nx}{n^2}-\int_{0}^{2\pi}-\frac{-cosnx}{n}d\frac{2}{n^2}$$
(1 Мар '13 11:47)
lodger
@lodger: когда Вы находите дифференциал функции от $%x$%, надо производную функции умножать на $%dx$%. Поэтому уже в первом Вашем комментарии, где $%u=x^2$%, должно быть $%du=2x\,dx$%. Соответственно, в самом последнем из интегралов будет множитель $%x$%. А все те множители, которые от $%x$% не зависят, удобно выносить за знаки интеграла, как только они появляются.
(1 Мар '13 16:02)
falcao
|
|
При нахождении $%a_0$% нужно ещё разделить на $%\pi$%. Остальные коэффициенты находятся по известным формулам. Интегралы от $%x^2\cos nx$% и $%x^2\sin nx$% вычисляются при помощи интегрирования по частям. Их также надо поделить на $%\pi$%. Если не ошибаюсь, должно получиться следующее: $$x^2=\frac43\pi^2+4\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\cos nx}{n^2}-4\pi\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{\sin nx}{n}$$ на интервале $%(0,2\pi)$%. отвечен 1 Мар '13 8:33 
falcao |