Добрый день!

Буду благодарен, если проясните, как найти здесь предел

$%\lim_{n \rightarrow \infty } \sum_{k=0}^{2n} 2 ^{ \frac{-nk}{n+k} } $%

К этому примеру в задачнике есть подсказка - привести к геометрической прогрессии. Но у меня знаменатель геом. прогрессии получается зависим от $%k$%.

задан 7 Ноя '17 17:13

10|600 символов нужно символов осталось
2

При $%0\le k\le2n$% справедливо неравенство $%\frac{nk}{n+k}\ge\frac{k}3$%. Это значит, что $%2^{-\frac{nk}{n+k}}\le2^{-k/3}$%. Пусть $%m$% -- некоторое фиксированное натуральное число. При $%n\gg1$% разобьём сумму на две: одна по $%0\le k < m$%, вторая по $%m\le k\le2n$%. Вторая из сумм мажорируется величиной $%a^m+a^{m+1}+\cdots+a^{2n} < \frac{a^m}{1-a}$%, где $%a=2^{-1/3}$%. Она стремится к нулю при $%m\to\infty$%, поэтому для любого $%\varepsilon > 0$% существует номер $%M_1$% такой, что вторая сумма будет меньше $%\varepsilon/2$% при $%m\ge M_1$%.

Далее, сумма $%1+2^{-1}+\cdots+2^{-(m-1)}=2-2^{-m}$% стремится к $%2$% при $%m\to\infty$%. Поэтому существует номер $%M_2$% такой, что $%2^{-m} < \varepsilon/2$% при $%m\ge M_2$%.

Для заданного $%\varepsilon > 0$% выберем число $%m=\max(M_1,M_2)$%. Оно не зависит от $%n$%, поэтому к первой из сумм можно применить теорему о пределах: $%\lim\limits_{n\to\infty}\sum\limits_{k=0}^{m-1}2^{-\frac{nk}{n+k}}=\sum\limits_{k=0}^{m-1}\lim\limits_{n\to\infty}2^{-\frac{nk}{n+k}}=\sum\limits_{k=0}^{m-1}2^{-k}=2-2^{-m}$%. Это число отличается от $%2$% менее чем на $%\varepsilon/2$%, и вторая сумма отличается от нуля менее чем на $%\varepsilon/2$%. Значит, вся сумма по $%0\le k\le2n$% отличается от $%2$% менее чем на $%\varepsilon$%, поэтому предел сумм равен $%2$%.

ссылка

отвечен 10 Ноя '17 22:54

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,738
×647
×278
×91
×36

задан
7 Ноя '17 17:13

показан
181 раз

обновлен
10 Ноя '17 22:54

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru