Ну, почему у меня всё время выпирает беспардонная мысль, как будто равенство: $$3^{3}+4^{3}+5^{3}=6^{3}$$ имеет бесчисленное множество интерпретаций в виде косоугольных параллелепипедов с разными углами для каждого случая? Или это действительно так?

задан 2 Мар '13 11:35

10|600 символов нужно символов осталось
0

Это чисто арифметическое равенство. Ему очень трудно приписать какой-то хороший геометрический смысл. И на более высокие размерности оно не обобщается.

Даже в самом простом случае, когда имеется треугольник со сторонами $%3$%, $%4$% и $%5$%, смысл именно в арифметике, то есть в том, что выполнено соответствующее равенство. Оно выполнено само по себе, независимо от геометрии. Интерпретируется оно только таким образом, что связано оно не с каким попало треугольником, а с прямоугольным. И соответствует это стандартной евклидовой метрике. А если метрику поменять, то получится что-то такое, где все понятия типа углов и прочего придётся определять заново. Если этого не сделать, а оставить углы прежние, то исчезнет связь между расстояниями и углами, а также какие-то другие хорошие свойства.

Добавление Здесь фактически предлагается рассмотреть на $%{\mathbb R}^n$% структуру нормированного пространства (при $%n=3$%), вводя для вектора $%x=(x_1,\ldots,x_n)$% его норму по формуле $$||x||=\left(|x_1|^3+\cdots+|x_n|^3\right)^{1/3}.$$ Тот факт, что это действительно будет норма, проверяется стандартно, с использованием неравенств Гёльдера и Минковского. По норме задаётся метрика: расстояние между $%x$% и $%y$% определяется как $%||x-y||$%. При этом надо заметить, что в нормированном пространстве нет понятия угла между векторами. Его иногда удаётся как следует определить, а иногда нет. Поэтому в этом пространстве можно либо использовать старое понятие угла -- ровно то, какое было в $%{\mathbb R}^3$%, либо придумать какое-то новое, либо отказаться от использования этого термина. Соответственно, все разговоры о параллелепипедах -- прямых, "косых", каких-то ещё, должны быть уточнены в свете этих замечаний.

Далее, будет ли здесь иметь место некий "аналог" теоремы Пифагора? Проще всего рассмотреть плоский случай. Если катеты прямоугольного треугольника параллельны осям координат, то куб нормы гипотенузы, очевидно, будет равен сумме кубов норм катетов. Однако, если мы треугольник повернём, и катеты перестанут быть параллельны осям, то это условие уже нарушится. Например, пусть три вершины имеют координаты $%(0,0)$%, $%(1,1)$%, $%(-1,1)$%. Это прямоугольный (в обычном смысле слова) равнобедренный треугольник. И здесь уже куб нормы катета равен $%2$%, что в сумме даёт $%4$%, но куб нормы гипотенузы равен $%8$%.

Причина такого несоответствия, а также принципиальное отличие евклидовой нормы от гёльдеровой (именно таким словом называется рассматриваемое обобщение, где вместо параметра $%3$% может выступать любое число $%p>1$%), состоит в том, что евклидова норма не меняется при поворотах вектора, а гёльдерова норма меняется. Поэтому геометрия нового пространства оказывается "беднее" за счёт того, что уменьшается группа движений пространства, то есть таких его преобразований, для которых расстояния не меняются. В обобщённом случае у нас пропадают повороты, а остаются только параллельные переносы вдоль осей координат (плюс, возможно, какие-то отражения относительно плоскостей). Но поворачивать в этом пространстве уже ничего нельзя.

Подытоживая сказанное: прямоугольный параллелепипед с измерениями $%3$%, $%4$%, $%5$% со сторонами, параллельными осям, рассмотреть можно, и у его сторон норма совпадёт с обычной длиной. Если рассмотреть большую диагональ, то её норма будет равна $%6$%, то есть примет целочисленное значение. Но это всё, что отсюда можно получить, и никакого нового знания нам это не даёт. Факт, как уже говорилось, чисто арифметический, и для других чисел он уже будет неверен.

ссылка

отвечен 2 Мар '13 14:18

изменен 2 Мар '13 20:36

Вы ответили внятно. Спасибо. Но возможно ли, по-Вашему, в предложенном равенстве хоть какое-то обобщение? Есть ли хотя бы две вариации углов и размеров косого параллелепипеда, в которой только углы были бы переменными величинами? Или теорема Пифагора и теорема косинусов в их прямом назначении к такому параллелепипеду уже не применимы без переопределения метрических свойств такого объекта? Пересчёт кубов на квадраты возможен. Но однозначным ли образом? Если: да, тогда данное арифметическое равенство имеет только одно геометрическое истолкование, и "косых" вариаций, кроме одной, нет.

(2 Мар '13 16:08) Осинов

Я сейчас отвечу в форме добавления к своему предыдущему ответу, а то здесь может не уместиться.

(2 Мар '13 19:31) falcao

Вы ответили очень доходчиво. Затратив время, Вы помогли не только спрашивающему, но многим из тех, кто, возможно, заинтересовался этим вопросом. Вероятно, это у Вас от профессиональной обязательности - научить людей понимать то, что им не понятно, если для Вас это не составляет труда (в данном случае, поскольку это не лекция). Поэтому спасибо Вам ещё раз - от лица и тех, кто, может быть, искал ответ на этот или подобный вопрос.

(2 Мар '13 21:35) Осинов

Всё именно так: я стараюсь именно научить понимать, и труда никакого это для меня не составляет. Я это воспринимаю как вид "общения", а не как "работу".

(2 Мар '13 21:55) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×840

задан
2 Мар '13 11:35

показан
1502 раза

обновлен
2 Мар '13 21:55

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru