Пусть $%H -$%гильбертово пространство. Тогда почему $%\forall A \in L(H)$%(ограниченные операторы) $%||A^{\star}A||=||A||^2 ?$%

задан 8 Ноя '17 21:57

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть x -- вектор, для которого ||x||=1, то есть (x,x)=1. Тогда ||Ax||^2=(Ax,Ax)=(x,BAx), где B=A* (это чтобы в тексте "звёздочка" была всего одна :))

Применим неравенство Коши - Буняковского, и воспользуется определением нормы. Получится ||Ax||^2<=||x|| ||BAx||=||BAx||<=||BA|| ||x||=||BA||. Тогда sup ||Ax|| на единичной сфере не больше ||BA||^{1/2}, то есть ||A||<=||BA||^{1/2}, и ||A||^2<=||BA||.

Докажем обратное неравенство. Пусть ||x||=1, как и выше. Тогда ||BAx||^2=(BAx,BAx)=(Ax,ABAx)<=||Ax|| ||ABAx|| <= ||A|| ||A|| ||BAx||. Следовательно, ||BAx|| <= ||A||^2 (если ||BAx|| положительно, то сокращаем; если ||BAx||=0, то вывод очевиден), и осталось взять sup по единичной сфере.

ссылка

отвечен 8 Ноя '17 23:25

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×379

задан
8 Ноя '17 21:57

показан
160 раз

обновлен
8 Ноя '17 23:25

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru