Дана последовательность Xn=n(n+1). Известно, что разность двух членов этой последовательности с номерами x и y (x<150<y) делится на 5^9. Найдите наименьшее возможное значение суммы x+y .

задан 8 Ноя '17 22:00

10|600 символов нужно символов осталось
1

Обозначения оставляют желать лучшего, потому что член последовательности с номером $%x$% равен $%X_x$%, а это явный "изыск". Оставим числа $%x$% и $%y$%, но саму последовательность запишем в виде $%A_n$% (или никак, потому что она дана явно).

По условию, $%y(y+1)-x(x+1)=y^2-x^2+y-x=(y-x)(y+x+1)$% делится на $%5^9$%. Положим $%z=x+y\to\min$%. Тогда $%(z-2x)(z+1)$% делится на $%5^9$%. Предположим, что оба сомножителя делятся на $%5^k$%. Тогда на это число делится разность, то есть $%2x+1 < 301$%. Отсюда $%k\le3$%. Значит, один из сомножителей делится максимум на $%5^3$%, и другой должен делиться на $%5^6$%. Тогда он не меньше $%5^6$%, откуда $%z+1\ge5^6$% (так как второй сомножитель больше).

Возьмём $%z=5^6-1$%, $%x=62$% (последнее для того, чтобы было $%2x+1=5^3$%). При этом $%y=15562 > 150$%. Ясно, что $%z+1$% делится в том числе на $%5^3$%, и тогда $%z-2x$% тоже делится. Значит, произведение делится на $%5^9$%, и этот пример подходит. То есть минимальное значение $%z$% равно $%15624$%.

ссылка

отвечен 9 Ноя '17 0:02

если y=15562, а x=62, то их разность y-x=15500 делится на 5^3, а на 5^9 не делится.

(9 Ноя '17 3:50) Светлана2001

@Светлана2001: это понятно, но нам ведь надо, чтобы делилась на 5^9 разность двух членов последовательности с номерами y и x, то есть y(y+1)-x(x+1). А это имеет место.

(9 Ноя '17 3:57) falcao

спасибо. все правильно, это я запуталась

(9 Ноя '17 4:00) Светлана2001
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,160

задан
8 Ноя '17 22:00

показан
1027 раз

обновлен
9 Ноя '17 4:00

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru